Modes quasi-normaux des trous noirs

Quasinormal modes of black holes

• Auteur / Autrice : Valentin Arrigoni
• Direction : Nabile Boussaid, Thierry DAUDé
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2023
• Etablissement(s) : Besançon, Université Marie et Louis Pasteur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Besançon

Mots clés

Mots clés libres

Equations aux dérivées partielles

Relativité générale

Résonances

Partial differential equations

General relativity

Resonances

Résumé

Le projet de thèse vise à étudier les modes quasi-normaux (QNM) des trous noirs, qui jouent un rôle clé dans la recherche contemporaine en physique et physique mathématique. Les QNM sont les signatures des trous noirs ''nouvellement'' formés. Ils correspondent aux fréquences et aux taux d'amortissement des signaux émis par le trou noir en présence de perturbations, et leurs fréquences codent des propriétés physiques et géométriques fondamentales du trou noir (et de son environnement). Le projet de recherche de cette thèse se concentre sur l'étude de trois problèmes liés aux QNM : (Problème de stabilité) La question de la stabilité des QNM sous de petites perturbations est cruciale mais subtile. En utilisant, par exemple, l'approche de la foliation hyperbolique (Jaramillo, Macedo et Sheikh), les QNM peuvent également être considérés comme des valeurs propres d'opérateurs de type Schrödinger non auto-adjoints, comme proposé par Häfner, Hintz et Vasy ou Gajic et Warnick. Cela suggère une forme très faible de stabilité pour les QNM, un phénomène qui a récemment été observé par Jaramillo et al. dans des simulations numériques en utilisant la notion de pseudo-spectre. Jaramillo et al. montrent la stabilité des QNM avec une décroissance la plus lente sous certaines perturbations, tandis que l'instabilité augmente avec l'amortissement. D'un point de vue mathématique, les QNM sont des résonances d'opérateurs de type Schrödinger dont les potentiels dépendent de la géométrie des trous noirs. Le projet de recherche de cette thèse consistera à caractériser les QNM en tant que valeurs propres d'opérateurs de Schrödinger non auto-adjoints et à analyser leur stabilité spectrale sous perturbations. La méthodologie consistera tout d'abord à considérer des perturbations d'un modèle jouet fourni par l'équation des ondes avec un potentiel de Pöschel-Teller. L'intérêt ici est que grâce au changement de variable de la foliation hyperbolique mentionnée ci-dessus, le potentiel devient constant. La deuxième étape consistera à considérer le modèle de Schwarzschild physiquement plus pertinent et à récupérer théoriquement les observations de Jaramillo et al. (Problème inverse) Une autre question fondamentale est celle du problème inverse pour les résonances, c'est-à-dire la détermination unique et stable de la géométrie du trou noir à partir de ses QNM. De tels problèmes inverses ont été complètement résolus dans le cas de l'équation de Schrödinger à une dimension avec des potentiels à support compact. Cette hypothèse n'est évidemment pas satisfaite pour les potentiels provenant de la physique des trous noirs. Le projet de recherche consistera ici à étudier plusieurs problèmes inverses de résonances (unicité, stabilité et formules de reconstruction) pour les équations de type Schrödinger qui apparaissent dans la définition des QNM et à généraliser les résultats connus (voir Borthwick, Boussaïd et Daudé pour le cadre des potentiels à support compact) à ce nouveau contexte. Dans ce contexte, les QNM en tant que résonances sont des pôles de la fonction de Weyl-Titchmarsh (qui est méromorphe). Sous certaines conditions, les pôles déterminent complètement cette fonction. Étant donné que la fonction de Weyl-Titchmarsh détermine de manière unique le potentiel et donc la géométrie, les conditions suffisantes pour cette procédure sont dans certains cas stables par perturbation compacte. Il s'agira alors de tester cette idée sur un modèle explicite tel que celui des potentiels de Pöschel-Teller. (Problème d'approximation) Les QNM les plus bas encodent des propriétés importantes du trou noir telles que sa masse et son moment angulaire. Fournir une méthode numérique certifiée pour calculer le premier QNM a un intérêt physique certain (validation des modèles). Ces modes les plus bas devraient être stables sous les perturbations de la géométrie du trou noir, ce qui rend une approche numérique apparemment accessible. Pour les modes plus élevés, comprendre et quantifier l'instabilité contribuera également à améliorer leur approximation. Le projet de recherche de cette thèse consistera à analyser et à mettre en œuvre des méthodes numériques certifiées pour calculer les QNM les plus bas et à étudier les instabilités numériques des QNM plus élevés. La méthodologie proposée se déroulera en deux temps. Premièrement, en interprétant les QNM comme des valeurs propres localisées, l'adaptation de méthodes sans états ''spurieux'' conduira probablement à une approximation certifiée et précise des premiers états. Le coût de calcul peut être élevé en raison des oscillations et des décroissances lentes des états correspondants. Une partie importante de l'analyse sera consacrée au choix des bases et des paramètres appropriés. Deuxièmement, le doctorant réexaminera l'approche des pôles de la résolvante comme suggéré par Duchemin, Genovese, Letournel, Levitt et Ruget. L'idée est de réécrire le noyau de la résolvante par une analyse de Fourier comme l'intégrale d'une fonction méromorphe. Après une déformation de contour, le chemin d'intégration peut éviter les pôles et permettre la continuation analytique de la résolvante. Dans une telle approche, les objets en jeu sont des intégrales de fonctions localisées et bien définies. Ils peuvent donc être discrétisés dans une approche numérique. Cette tâche sera réalisée en collaboration avec Mi-Song Dupuy et Antoine Levitt. En étudiant ces modèles explicites, nous pouvons acquérir des connaissances sur les propriétés spectrales des opérateurs de type Schrödinger qui apparaissent dans la définition des QNM et leur relation avec la géométrie des trous noirs. Les résultats obtenus dans ce projet de recherche auront des implications que nous espérons importantes pour notre compréhension de la physique des trous noirs et de l'univers en général, ainsi que pour le développement de nouvelles technologies basées sur les ondes gravitationnelles et la détection des trous noirs.

The thesis project aims to study the quasi-normal modes (QNM) of black holes, which play a key role in contemporary research in physics and mathematical physics. QNMs are the signatures of ''newly'' formed black holes. They correspond to the frequencies and damping rates of signals emitted by the black hole in the presence of perturbations, and their frequencies encode fundamental physical and geometric properties of the black hole and its surroundings. The research project of this thesis focuses on studying three problems related to QNMs: (Stability problem) The question of stability of QNMs under small perturbations is crucial but subtle. By using, for example, the hyperboloidal foliation approach (Jaramillo, Macedo, and Sheikh), QNMs can also be considered as simple eigenvalues of non-self-adjoint Schrödinger-type operators, as proposed by Häfner, Hintz, and Vasy, or Gajic and Warnick. This suggests a very weak form of stability for QNMs, a phenomenon that has recently been observed by Jaramillo et al. in numerical simulations using the concept of pseudospectrum. Jaramillo et al. show the stability of QNMs with slowest decay under certain perturbations, while instability increases with damping. From a mathematical point of view, QNMs are resonances of Schrödinger-type operators whose potentials depend on the geometry of black holes. The thesis research project will involve characterizing QNMs as eigenvalues of non-self-adjoint Schrödinger operators and analyzing their spectral stability under perturbations. The methodology will first consider perturbations of a toy model provided by the wave equation with a Pöschl-Teller potential. The interest here is that, thanks to the change of variable of the aforementioned hyperboloidal foliation, the potential becomes constant. The second step will involve considering the physically more relevant Schwarzschild model and theoretically recovering the observations of Jaramillo et al. (Inverse problem) Another fundamental question is the inverse problem for resonances, namely, determining the black hole's geometry uniquely and stably from its QNMs. Such inverse problems have been completely solved in the case of one-dimensional Schrödinger equations with compact support potentials. This assumption is clearly not satisfied for potentials arising from black hole physics. The research project here will study several inverse problems for resonances (uniqueness, stability, and reconstruction formulas) for Schrödinger-type equations that appear in the definition of QNMs and generalize known results to this new context. In this context, QNMs as resonances are poles of the Weyl-Titchmarsh function (which is meromorphic). Under certain conditions, the poles completely determine this function. Since the Weyl-Titchmarsh function uniquely determines the potential and thus the geometry, the sufficient conditions for this procedure are in some cases stable under compact perturbations. It will then be a matter of testing this idea on an explicit model such as the Pöschl-Teller potentials. (Approximation problem) The lowest QNMs encode important properties of the black hole, such as its mass and angular momentum. Providing a certified numerical method to compute the first QNM has certain physical interest (model validation). These lowest modes should be stable under perturbations of the black hole's geometry, making a numerical approach seemingly accessible. For higher modes, understanding and quantifying instability will also help improve their approximations. The research project of this thesis will involve analyzing and implementing certified numerical methods to compute the lowest QNMs and studying numerical instabilities of higher QNMs. The proposed methodology will be carried out in two steps. Firstly, by interpreting QNMs as localized eigenvalues, adapting state-free methods will likely lead to a certified and accurate approximation of the first states. The computational cost may be high due to the oscillations and slow decay of the corresponding states. A significant part of the analysis will focus on the choice of appropriate bases and parameters. Secondly, the doctoral student will re-examine the approach of poles of the resolvent as suggested by Duchemin, Genovese, Letournel, Levitt, and Ruget. The idea is to rewrite the resolvent kernel through Fourier analysis as the integral of a meromorphic function. After a contour deformation, the integration path can avoid the poles and allow for the analytic continuation of the resolvent. In such an approach, the objects involved are integrals of localized and well-defined functions, which can be discretized in a numerical approach. This task will be carried out in collaboration with Mi-Song Dupuy and Antoine Levitt. By studying these explicit models, we can gain insights into the spectral properties of Schrödinger-type operators that appear in the definition of QNMs and their relationship with the geometry of black holes. The results obtained in this research project will have implications that we hope will be important for our understanding of black hole physics and the universe in general, as well as for the development of new technologies based on gravitational waves and black hole detection.