Diffraction d'ondes électromagnétiques par des revêtements finis minces

Diffraction of electromagnetic waves by finite thin coatings

• Auteur / Autrice : Cédric Baudet
• Direction : Sonia Fliss, Patrick Joly
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2023
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : École nationale supérieure de techniques avancées (Palaiseau ; 1970 -....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : POEMS - Propagation des Ondes, Etudes Mathématiques et Simulation

Mots clés

Mots clés libres

Edp

Analyse asymptotique

Homogénéisation

Analyse numérique

Méthodes numériques

Pde

Asymptotic analysis

Homogenization

Numerical analysis

Numerical methods

Résumé

Des découvertes récentes ont montré la possibilité de réaliser des métamatériaux possédant des propriétés de propagation des ondes électromagnétiques extraordinaires. Ils suscitent un grand intérêt applicatif et sont par exemple utilisés pour réduire la surface équivalente radar (SER) d'avions furtifs. Ces matériaux ont souvent une structure périodique et multi-échelle complexe. Il est question dans cette thèse de l'étude de la diffraction d'ondes électromagnétiques ou acoustiques par des objets recouverts de revêtements microstructurés. La difficulté vient du caractère multi-échelle du problème. Il est trop coûteux de simuler la propagation des ondes dans de tels milieux, car cela nécessite de mailler le domaine en tenant compte de l'échelle la plus petite. Une alternative séduisante est de remplacer le revêtement par des conditions effectives évitant de mailler la couche. De nombreux travaux ont déjà été effectués sur les revêtements homogènes ou périodiques qui recouvrent la totalité de l'objet diffractant. Ces travaux se basent sur des développements asymptotiques raccordés ou multi-échelles qui permettent de déduire des conditions effectives tout en déterminant leur ordre de précision. D'un point de vue pratique, les calculs sont beaucoup moins coûteux, même s'ils nécessitent la résolution de problèmes auxiliaires. Cependant, en général les revêtements ne recouvrent pas tout l'objet car ils sont souvent interrompus du fait de la géométrie de l'objet et de la présence potentielle de détails fixés sur la paroi. Dans ce cas, les développements asymptotiques sont beaucoup plus délicats car la solution possède un comportement singulier au niveau du bord du revêtement. Pour l'instant, aucun modèle effectif n'a vraiment été proposé et aucun modèle effectif heuristique n'a vraiment été convaincant d'un point de vue numérique. Comme ces bords de revêtements peuvent avoir un impact sur la SER de l'objet, il est primordial de savoir mieux décrire le comportement diffractant des bords de couches. C'est l'objectif de cette thèse. Il s'agit d'un problème difficile auquel aucune solution satisfaisante n'a été apportée jusqu'ici à notre connaissance. La thèse comporte trois parties : - Le calcul d'un développement asymptotique de l'onde diffractée lorsque l'épaisseur et la période sont petites devant la longueur d'onde. - La conception de modèles approchés, inspirés du développement précédent et qui remplacent la couche par des conditions au bord effectives. - La conception et la validation de méthodes numériques. Il est question de commencer par étudier les couches homogènes avant de traiter le cas de couches hétérogènes. Nous voulons étudier tout d'abord un problème bidimensionnel de diffraction acoustique (modélisée par l'équation de Helmholtz) puis un problème tridimensionnel et enfin un problème de diffraction électromagnétique (modélisée par des équations de Maxwell). Les configurations envisagées ont été proposées et discutées avec notre partenaire industriel sur le sujet, l'entreprise IMACS.

Recent discoveries have shown the possibility of producing metamaterials with extraordinary electromagnetic wave propagation properties. They arouse great interest in applications such as reducing the radar cross-section (RCS) of stealth aircraft. These materials often have complex periodic and multiscale structures. This PhD thesis deals with the study of electromagnetic or acoustic wave diffraction by objects covered with microstructured coatings. The difficulty lies in the multi-scale nature of the problem. It is too costly to simulate wave propagation in such media, as this requires meshing the domain taking into account the smallest scale. An attractive alternative is to replace the coating with effective conditions that avoid meshing the layer. A great deal of work has already been done on homogeneous or periodic coatings that cover the entire diffracting object. This work is based on matched or multi-scale asymptotic expansions, which enable us to deduce effective conditions while determining their order of precision. From a practical point of view, the computations are much less costly, even if they require the resolution of auxiliary problems. However, in general, coatings do not cover the entire object, as they are often interrupted because of the object's geometry and the potential presence of details attached to the object. In this case, asymptotic expansions are much trickier, as the solution has a singular behavior at the edge of the coating. So far, no effective model has really been proposed, and no heuristic effective model has really been convincing from a numerical point of view. As these coating edges can have an impact on the object's RCS, it is vital to be able to better describe the diffracting behavior of layer edges. This is the aim of this PhD. This is a difficult problem to which no satisfactory solution has yet been found to our knowledge. The PhD consists of three parts: - The calculation of an asymptotic expansion of the diffracted wave when the thickness and the period are small compared with the wavelength. - The design of approximate models, inspired by the previous expansion, which replace the layer with effective boundary conditions. - The design and validation of numerical methods. We intend to start by studying homogeneous layers before tackling the case of heterogeneous layers. We intend to study first a two-dimensional acoustic diffraction problem (modeled by the Helmholtz equation), then a three-dimensional problem, and finally an electromagnetic diffraction problem (modeled by Maxwell's equations). The configurations considered were suggested and discussed with our industrial partner on the subject, the IMACS company.