Stabilité pour les équations de Born-Infeld et de Zakharov-Kuznetsov

Stability for the Born-Infeld and Zakharov-Kuznetsov equations

• Auteur / Autrice : Philippe Anjolras
• Direction : Frédéric Rousset, Yann Brenier
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2023
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Analyse numérique et équations aux dérivées partielles
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Faculté des sciences d'Orsay

Mots clés

Mots clés libres

Équations dispersives

Born-Infeld

Zakharov-Kuznetsov

Dispersive equations

Born-Infeld

Zakharov-Kuznetsov

Résumé

Ce projet de thèse s'intéresse à la stabilité de certains types d'équations aux dérivées partielles issues de la physique qui présentent une partie linéaire dispersive et une partie non-linéaire qu'on étudiera sous l'angle des ''résonances espace-temps'' introduites par Germain, Masmoudi et Shatah. Les deux équations qui nous intéressent sont l'équation de Born-Infeld, qui est un modèle non-linéaire d'électromagnétisme, et celle de Zakharov-Kuznetsov, qui est un modèle de plasma généralisant l'équation de Korteweg-de-Vries. L'objectif est de démontrer la stabilité autour de solutions triviales constantes, ou dans le cas de Zakharov-Kuznetsov autour de l'onde solitaire. Par ailleurs, dans le cas de Born-Infeld, on s'intéressera aussi à la stabilité par passage à la limite faible, qui entre dans le cadre de la théorie de l'intégration convexe.

This thesis project focuses on the stability of some types of partial differential equations coming from physics, presenting a linear dispersive part and a non-linear part that can be studied with the method of space-time resonances introduced by Germain, Masmoudi and Shatah. The two equations we are interested in are the Born-Infeld system, which is a non-linear model of electromagnetism, and the Zakharov-Kuznetsov equation, which is a model of plasma generalizing the Korteweg-de-Vries equation. The aim is to prove the stability of trivial constant solutions, or in the case of Zakharov-Kuznetsov around the solitary wave. Furthermore, in the case of the Born-Infeld equation, we will also investigate the stability with respect to weak limits with the help of the theory of convex integration.