Processus de Galton-Watson en environnement dynamique

Galton-Watson processes in dynamical environment

• Auteur / Autrice : Thomas Morand
• Direction : Damien Thomine
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2023
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Topologie et dynamique
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Faculté des sciences d'Orsay

Mots clés

Mots clés libres

Probabilités

Processus de branchement

Systèmes dynamiques

Théorie ergodique

Probability theory

Branching processes

Dynamical systems

Ergodic theory

Résumé

Le sujet de thèse proposé porte sur l'étude de Processus de Galton-Watson en environnement dynamique. Les processus de Galton-Watson forment un modèle d'évolution aléatoire de populations. On cherche à estimer une population après un certain nombre de générations. Dans cette variante à chaque génération, chaque individu a un nombre aléatoire de descendants suivant une loi qui est déterminée par un système dynamique topologique. Ce modèle permet notamment de généraliser les modèles d'Atreya et Karlin où les environnements sont aléatoires (indépendants identiquement distribués ou markoviens). Ce point de vue permettra de profiter de la richesse de la structure des systèmes dynamiques. La première tache à effectuer sera d'adapter les résultats de Keller et Otani à ce contexte. On étudiera aussi des phénomène de bifurcations sur la probabilité de survie pour une famille d'environnements dépendant d'un paramètre (grâce à l'étude de graphe invariants). On pourra ensuite étudier des modèles de Galton-Watson en environnement dynamique multi- types, des théorèmes limites ou la probabilité d'existence d'un sous-arbre binaire dans l'arbre généalogique du processus par exemple.

The proposed thesis subject is the study of Galton-Watson processes in a dynamic environment. The Galton-Watson processes form a model of random evolution of populations. We try to estimate a population after a certain number of generations. In this variant, at each generation, each individual has a random number of descendants according to a law that is determined by a topological dynamic system. This model allows in particular to generalize the models of Atreya and Karlin where the environments are random (independent identically distributed or Markovian). This point of view will allow us to take advantage of the richness of the structure of dynamic systems. The first task will be to adapt the results of Keller and Otani to this context. We will also study bifurcation phenomena on the survival probability for a family of environments depending on a parameter (thanks to the study of invariant graphs). We can then study Galton-Watson multi type models in dynamic environment, limit theorems or the probability of existence of a binary subtree in the family tree of the process for example.