Régularisation non-visqueuse des équations de type Michelson--Sivashinsky.

Non-viscous regularization of Michelson--Sivashinsky type equations.

• Auteur / Autrice : Lorenzo Poggioni
• Direction : Didier Clamond, Yves d' Angelo
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Doctorat mathematiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2023
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LJAD - Laboratoire Jean-Alexandre Dieudonné

Mots clés

Mots clés libres

Flammes

Modélisation

Edp

Calcul scientifique

Modeling

Flames

Pde

Scientific calculus

Résumé

Dans le domaine de la dynamique des fluides réactifs, les flammes minces plissées constituent l'archétype des flammes de pré- mélange. On rencontre de telles flammes par exemple dans les moteurs essence, au sein des gazinières ou des chalumeaux, lors d'explosions dans des usines ou encore lors d'accidents de fusion du coeur des réacteurs nucléaires. D'autres situations de ce type peuvent se rencontrer dans l'Univers, au sein de certains types d'étoiles, en particulier lors de l'explosion des Supernovae de Type Ia, les « chandelles de l'Univers ». Dans ce contexte, la résolution directe des équations de Navier-Stokes réactives (i.e. incluant les processus de cinétique chimique exothermique), ou DNS, nécessite une résolution spatio-temporelle très élevée (ces flammes sont très minces, de l'ordre de quelques centaines de microns pour les flammes gazeuses en conditions usuelles, voire nettement moins) ainsi que des méthodes numériques très élaborées. En outre, la solution précise par DNS de ces fronts est excessivement sensible à toute perturbation, en particulier d'origine numérique : forme des mailles, méthode de discrétisation et d'intégration spatiale, méthode d'intégration temporelle, modèle de cinétique chimique… Une modélisation alternative simplifiée, asymptotique, de ce type de phénomènes consiste en l'établissement et la résolution numérique d'une équation d'évolution non linéaire et non locale pour le front de flamme. Les équations de type Michelson- Sivashinsky (MS), en particulier celles du premier ordre en temps, constituent une telle approche relativement simple, en offrant la possibilité de « gagner » une dimension spatiale par rapport à la résolution « volumique » des équations de bilan. L'équation MS classique fait intervenir l'opérateur de Landau-Darrieu (dérivée spatiale fractionnelle, non locale, au sens de Riesz-Feller [Podlubny 1999] d'ordre 1), et qui représente l'instabilité hydrodynamique. Cette équation MS simple possède des classes de solutions exactes, dites à pôles. Il est également possible pour des équations incluant des termes plus complexes ou encore un forçage aléatoire « turbulent » (et donc sans solutions explicites) de faire appel à une approximation numérique pseudo-spectrale, l'opérateur de Landau-Darrieu s'exprimant simplement dans la base de Fourier. Il est assez remarquable qu'une équation aussi simple fournisse des résultats qualitativement (et parfois quantitativement) proches des formes réellement observées dans la Nature pour de vraies flammes. Au cours de cette thèse, on se propose d'explorer cette classe d'équation. On travaillera entre autres sur la conception d'une nouvelle méthode numérique pseudo-spectrale utilisant une régularisation non-visqueuse (dite hamiltonienne), à pas adaptatif, visant à capturer les comportements transitoires rapides, typiques de MS en 1D, sans endommager la structure de l'équation. Puis on s'attellera à l'implémentation de cette méthode numérique de haute précision, que l'on utilisera pour observer qualitativement les effets de la régularisation hamiltonienne. On pourra ensuite optimiser cet algorithme afin de le faire fonctionner sur des serveurs de calculs dans l'optique de traiter des situations à grande échelle. Ensuite on pourra généraliser les résultats obtenus pour MS à une classe d'équations aux dérivées partielles plus générale.

In the field of reactive fluid dynamics, wrinkled thin flames represent the archetype of premixed flames. Such flames can be encountered, for example, in gasoline engines, gas stoves or blowtorches, during explosions in factories, or in nuclear reactor core meltdown accidents. Other situations of this type can be found in the Universe, within certain types of stars, particularly during Type Ia supernova explosions, also known as the ''candles of the Universe''. In this context, the direct numerical resolution of the reactive Navier-Stokes equations (i.e., including exothermic chemical kinetics processes), or DNS (Direct Numerical Simulation), requires a very high spatiotemporal resolution (these flames are very thin, on the order of a few hundred microns for gaseous flames under normal conditions, or even much thinner) as well as highly sophisticated numerical methods. Moreover, the precise DNS solution of these fronts is extremely sensitive to any perturbation, especially of numerical origin: mesh structure, spatial discretization and integration method, temporal integration method, chemical kinetics model... An alternative simplified asymptotic modeling of this type of phenomenon consists of establishing and numerically solving a nonlinear and non-local evolution equation for the flame front. Michelson-Sivashinsky (MS) type equations, particularly those of first order in time, constitute such a relatively simple approach, offering the possibility to ''gain'' one spatial dimension compared to the ''volumetric'' resolution of the balance equations. The classical MS equation involves the Landau-Darrieu's operator (fractional spatial derivative, non-local, in the sense of Riesz-Feller [Podlubny 1999] of order 1), which represents the hydrodynamic instability. This simple MS equation possesses classes of exact solutions, known as poles. It is also possible, for equations involving more complex terms or even ''turbulent'' random forcing (and thus without explicit solutions), to resort to a pseudo-spectral numerical approximation, with the Landau-Darrieu's operator expressed simply in the Fourier basis. It is quite remarkable that such a simple equation provides qualitatively (and sometimes quantitatively) similar results to the shapes actually observed in nature for real flames. During this thesis, we propose to explore this class of equations. Among other things, we will work on the design of a new pseudo-spectral numerical method using a non-viscous (Hamiltonian) regularization, with adaptive steps, aiming to capture the fast transient behaviors that are typical of 1D MS without damaging the structure of the equation. Then we will proceed with the implementation of this high-precision numerical method, which we will use to qualitatively observe the effects of the Hamiltonian regularization. We can then optimize this algorithm to make it work on supercomputers with the aim of dealing with large-scale situations. Furthermore, we can generalize the results obtained for MS to a broader class of partial differential equations.