Etude de modèles de diffusion croisée non linéaire en dynamique des populations

A study of nonlinear cross-diffusion models in population dynamics

• Auteur / Autrice : Maxime Payan
• Direction : Maxime Breden, Didier Smets
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Inscription en doctorat le 30/09/2022
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : CMAP - Centre de Mathématiques appliquées
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Equations aux dérivées partielles pour la physique

Mots clés

Mots clés libres

Diffusion croisée

Chimiotaxie

Preuves assistées par ordinateur

Equations aux dérivées partielles

Cross-diffusion

Computer-assisted proofs

Chemotaxis

Partial differential equations

Résumé

L'objectif principal de cette thèse est de développer et de mettre en œuvre de nouveaux outils mathématiques pour l'étude de systèmes d'équations aux dérivées partielles avec diffusion croisée non linéaire. Pour cela, on utilisera des techniques dites 'assistées par ordinateur', qui, en partant d'une solution approchée obtenue numériquement, permettent de démontrer un théorème garantissant l'existence d'une solution exacte dans un voisinage de la solution approchée. On se concentrera en particulier sur l'étude de certains modèles de chimiotaxie, et plus généralement de dynamiques des populations, pour lesquels il est souvent délicat d'étudier rigoureusement les 'patterns' (états stationnaires non homogènes, orbites périodiques,...), qui sont pourtant cruciaux pour comprendre la dynamique en temps long.

The main objective of this thesis is to develop and to apply new mathematical tools for the study of systems of partial differential equations with nonlinear cross-diffusion. To this end, so-called 'computer-assisted' techniques will be used, which, starting from an approximate solution obtained numerically, make it possible to demonstrate a theorem guaranteeing the existence of an exact solution in a neighborhood of the approximate solution. We will focus in particular on the study of certain models of chemotaxis, and more generally of population dynamics, for which it is often difficult to rigorously study the 'patterns' (non-homogeneous stationary states, periodic orbits, etc.) , which are nevertheless crucial to understand the long-time dynamics.