Connexions paraboliques et groupe fondamental logarithmique

Parabolic connections and logarithmic fundamental groups

• Auteur / Autrice : Xiaodong Yi
• Direction : Niels Borne
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Inscription en doctorat le 01/12/2022
• Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : MADIS Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé

Mots clés

Mots clés libres

Connexion logarithmique

Groupe fondamental algébriques

Fibrés paraboliques

Logarithmic connection

Algebraic fundamental group

Parabolic bundle

Résumé

Le cadre du sujet est celui de la géométrie algébrique, on s'intéresse plus précisement au comportement à l'infini de fibrés vectoriels définis sur des variétés algébriques. Ceux-ci peuvent être équipés d'une connexion à pôles logarithmiques, ou bien d'une structure parabolique. Lorsque ces deux données sont compatibles, on parle de connexion parabolique. Il a été prouvé récemment que les connexions paraboliques correspondent de manière bijective aux fibrés avec une connexion holomorphe sur une orbifolde naturellement associée à la situation, le champ des racines du diviseur à l'infini. Un premier objectif du sujet sera de généraliser ce résultat dans deux directions. Tout d'abord, en se débarrassant de l'hypothèse que les croisemements normaux du diviseur à l'infini sont simples. Ensuite, en autorisant des connexions paraboliques à résidus quasi-unipotents, qui doivent correspondre à des connexions à résidus unipotents sur les champs des racines. Le deuxième objectif sera d'utiliser ces résultats pour définir/étudier différents groupes fondamentaux algébriques. Les connexions paraboliques doivent ainsi incarner les représentations d'un « groupe fondamental algébrique log-Kummer ». Les généralisations à résidus quasi-unipotents des connexions paraboliques donnent aussi lieu à un groupe fondamental lié au groupe fondamental quasi-unipotent de Deligne.

We are interested in behaviors of vector bundles at infinity. A vector bundle may be equipped with a connection with logarithmic poles at infinity, or a parabolic structure. When these two constructions are compatible, we called it a parabolic connection. Recently it has been proved that certain parabolic connections correspond bijectively to holomorphic connections on the associated orbifold, the so-called stack of roots. The first step of the thesis is to generalize the above results in two directions. We remove the hypothesis that the normal crossing divisors at infinity are simple. Then, we will generalize the above result to a correspondence between parabolic connections with quasi-unipotent residues and logarithmic connections with unipotent residues on the corresponding stack of roots. The second step is to use the results obtained to define or study different fundamental groups. The parabolic connections should correspond to representations of a “log-kummer fundamental group”. This fundamental group will also be related to the quasi-unipotent fundamental group due to Deligne.