Méthode numérique semi-implicite pour le modèle de l'hyperélasticité

Semi-implicit numerical method for the hyper-elasticity model

• Auteur / Autrice : Axelle Drouard
• Direction : Emmanuel Labourasse, Rémi Abgrall
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Inscription en doctorat le 01/11/2022
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire en Informatique Haute Performance pour le Calcul et la simulation
• Partenaire(s) de recherche : référent : Faculté des sciences d'Orsay

Mots clés

Mots clés libres

Analyse numérique

Méthode semi-implicite

Hyperélasticité

Numerical analysis

Semi-implicit method

Hyper-elasticity

Résumé

L'interaction fluide-structure motive le développement de méthodes numériques dans de nombreux domaines d'application : la simulation de la résistance au vent d'un pont, l'écoulement du sang dans les artères, ou le calcul de la portance d'un avion ne sont que quelques exemples. La nature des problèmes considérés conduit au développement de méthodes radicalement différentes. L'une d'entre elles consiste à considérer un modèle global de mécanique des milieux continus, valable de l'élasticité des matériaux solides à la dynamique des gaz (approche monolithique). Une telle stratégie a été mise en oeuvre dans Hera [4]. En dynamique rapide, le problème principal est que les ondes traversent les solides beaucoup plus rapidement que les gaz, ce qui pénalise fortement le pas de temps de la simulation. En effet, les méthodes numériques impliquées sont explicites, et un critère CFL qui dépend de la vitesse locale du son garantit la stabilité. Afin de s'affranchir de cette contrainte, une solution consiste à utiliser une discrétisation temporelle implicite pour le système d'équations d'Euler. En pratique, l'utilisation indiscriminée de cette solution peut être contreproductive si elle conduit à l'inversion de systèmes linéaires étendus. Le prix de l'inversion peut devenir plus important que la multiplication des étapes explicites. Une façon de contourner cette difficulté est d'utiliser l'intégration implicite uniquement pour la partie solide, comme proposé dans [7]. Dans cette thèse, nous nous intéressons à imaginer, analyser et implémenter une méthode numérique pour ce problème. Le modèle considéré est l'hyperélasticité (voir par exemple [3]). Nous étudierons la possibilité d'utiliser des méthodes numériques localement (dans le solide) et éventuellement partiellement (IMEX) implicites. Abgrall et Torlo [1] ont récemment proposé une méthode semi-implicite sans matrice d'ordre quelconque en 1D sur un maillage cartésien. Dans ce travail, ils transforment un système de lois de conservation non linéaires en un système linéaire par une méthode de relaxation [6]. Une méthode de correction différée [5] (utilisée également dans [2]) assure l'intégration en temps. Elle permet d'atteindre une condition CFL de quelques unités sans avoir de matrice à inverser. Nous étudierons la possibilité d'utiliser cette méthode pour le système d'hyperélasticité et de l'étendre en dimensions supérieures à 1 sur des maillages non structurés.

The fluid-structure interaction motivates the development of numerical methods in many application domains: the simulation of the wind resistance of a bridge, the flow of blood in arteries, or the calculation of the lift of an aircraft are only a few examples. The nature of the problems considered leads to the development of radically different methods. One of them consists in considering a global model of continuous media mechanics, valid from the elasticity of solid materials to the dynamics of gases (monolithic approach). Such a strategy has been implemented in Hera [4]. In fast dynamics, the main problem is that the waves pass through solids much faster than gases, which strongly penalizes the time step of the simulation. Indeed, the numerical methods involved are explicit, and a CFL criterion that depends on the local sound speed guarantees stability. In order to avoid this constraint, one solution is to use an implicit time discretization for the system of Euler equations. In practice, the indiscriminate use of this solution can be counterproductive if it leads to the inversion of extended linear systems. The price of inversion can become more expensive. This is more important than the multiplication of explicit steps. One way to circumvent this difficulty is to use implicit integration only for the solid part, as proposed in [7]. Objectives : In this thesis, we are interested in designing, analyzing and implementing a numerical method for this problem. The model considered is the hyper-elasticity (see for example [3]). We will study the possibility of using locally (in the solid) and possibly partially (IMEX) implicit numerical methods. Abgrall and Torlo [1] have recently proposed a matrix-free semi-implicit method in 1D on a Cartesian mesh. In this work, they transform a system of non-linear conservation laws into a linear system by a relaxation method [6]. A differed correction method [5] (which uses the same method as the one used in the previous work) is also used. This method (also described in [2]) ensures integration in time. It allows to reach a CFL condition of some units without having any matrix to invert. We will study the possibility of using this method for the hyper-elasticity system and of extending it to dimensions greater than 1 on unstructured meshes.