Étude spectrale et dynamique linéaire des opérateurs de composition pondérés sur le disque et la boule unité

Spectral study and linear dynamics of weighted composition operators on the unit disc and unit ball

• Auteur / Autrice : Lucas Oger
• Direction : Isabelle Chalendar
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2022
• Etablissement(s) : Université Gustave Eiffel
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2010-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LAMA -- Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Analyse en grande dimension

Mots clés

Mots clés libres

Opérateur de composition à poids

Opérateur de multiplication

Espace de Fréchet

Spectre

Isométries linéaires

Dynamique linéaire

Weighted composition operator

Multiplication operator

Fréchet space

Spectrum

Linear isometries

Linear dynamics

Résumé

La théorie des opérateurs de composition (pondérés) est un sujet très étudié. La majeure partie de la littérature sur le sujet (par exemple, les livres et articles de Cowen, MacCluer, Bayart, Shapiro, Bourdon, ...) considère ces opérateurs sur des espaces de Banach de fonctions holomorphes, tels que les espaces de Hardy, Bergman, Dirichlet, Bloch etc. En effet, ces opérateurs apparaissent dans de nombreux problèmes, comme l'étude de la géométrie d'un espace X. Cette étude est centrée sur l'identification des isométries linéaires de X, et il y a une profonde connexion entre les opérateurs de composition pondérés et les isométries. Cette connexion remonte à Banach sur l'espace des fonctions à valeurs réelles et continues sur un espace métrique. Même si la caractérisation des isométries est un problème ouvert dans la plupart des espaces de Banach de fonctions holomorphes, des résultats existent, comme ceux de Forelli, Chalendar et Partington sur les espaces de Hardy, Kolaski et Zorboska sur les Bergman ou El-Gebeily et Wolfe sur l'algèbre du disque. Récemment, W. Arendt et al. ont étudié les opérateurs de composition directement sur l'espace de Fréchet Hol(D) (D étant le disque unité de C), leurs deux articles récents reposant sur des résultats anciens et profonds dus à Koenigs, Valiron et Pommerenke. En effet, l'étude spectrale de ces opérateurs sur Hol(D) est une première étape dans la compréhension des spectres d'opérateurs de composition bornés et induits par un symbole φ sur des espaces de Banach arbitraires s'injectant continûment dans Hol(D). Le sujet de thèse est une étude des spectres et de la dynamique linéaire de ces opérateurs directement dans l'espace Hol(D), avec de possibles généralisations sur la boule unité BN. Il se situe au carrefour entre la dynamique holomorphe et la théorie des opérateurs. Dans un premier temps il s'agira de comprendre l'analogie de la théorie de Denjoy-Wolff, Valiron et Baker–Pommerenke en plusieurs variables, avant de déterminer les spectres, et des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un opérateur de composition soit cyclique ou hypercyclique. Une application sera l'étude des isométries linéaires de l'espace Hol(D). Ce sujet est au coeur d'une nouvelle thématique du Réseau Thématique ANAIS dont font partie F. Bracci (équipe étrangère de Rome associée), Frédéric Bayart (Clermont-Ferrand) ou encore Jasmin Raissy, la correspondante du thème de dynamique holomorphe à Bordeaux.

Theory of (weighted) composition operators is a very popular subject. Most of the vast literature on this topic (see the monographs by Cowen, MacCluer, Bayart, Shapiro, Bourdon, ...) considers these operators on Banach spaces of analytic functions, such as the Hardy spaces, Bergman spaces, Dirichlet spaces or Bloch spaces. Indeed, they appear in numerous problems, such as the study of the geometry of a space X. It is centered on the identification of the linear isometries on X, and there is an deep connection between weighted composition operators and isometries. This connection can be traced back to Banach himself on the space of continuous real-valued functions on a compact metric space. Although the characterisation of isometries is an open problem for most Banach spaces of holomorphic functions, there are results from Forelli, Chalendar and Partington on Hardy spaces, Kolaski and Zorboska in Bergman spaces, or El-Gebeily and Wolfe in the disc algebra. In recent years, W. Arendt et al. studied one-variable composition operators directly on the Fréchet space Hol(D) (where D is the unit disc of C) in two articles using old and deep results from Koenigs, Valiron and Pommerenke. Indeed, the spectral study of composition operators on Hol(D) is a first step in understanding the spectrum for bounded composition operators induced by a symbol φ on arbitrary Banach spaces X of holomorphic functions on D which embeds continuously in Hol(D). The thesis subject is a study of the spectra and linear dynamics of these operators directly on the space Hol(D), and possible generalisations on the unit ball BN. This topic lies between complex dynamics and operator theory. The first goal is to understand the analogy of Denjoy-Wolff theory and Valiron and Baker-Pommerenke theorems in several dimensions. Then, the goal is to describe the spectra, and give necessary and sufficient conditions on a composition operator to be cyclic or hypercyclic. One application is the study of linear isometries of the space Hol(D). This subject is the heart of a new thematic of RT ANAIS, with F. Bracci (University of Roma), F. Bayart (Clermont-Ferrand) or J. Raissy (correspondent of complex dynamics in Bordeaux).