Théorème central limite avec vitesse dans les espaces de Banach : critères projectifs et conditions de mélange.

Central limit theorem with rate in Banach spaces: projective criteria and mixing conditions.

• Auteur / Autrice : Aurélie Bigot
• Direction : Florence Merlevède, Jérôme Dedecker
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2022
• Etablissement(s) : Université Gustave Eiffel
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2010-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées (Créteil ; 1992-....)

Mots clés

Mots clés libres

Suites stationnaires

Espaces de Banach

Convergence en distribution

Théorème central limite

Principe d'invariance Hölderien

Vitesse de convergence

Stationnary sequences

Banach spaces

Convergence in distribution

Central limit theorem

Hölderian invariance principle

Rates of convergence

Résumé

La thèse portera essentiellement sur des inégalités de déviations ainsi que sur l'obtention de bornes optimales du coût de transport quadratique dans le TCL (Théorème Central Limite, éventuellement conditionnel) pour des sommes partielles associées à des fonctionnelles d'itérées de transformations non uniformément dilatantes de l'intervalle (comme celles qui sont de type Pomeau-Maneville). Obtenir de bonnes inégalités de déviations de type Fuk-Nagaev a des applications, par exemple, en assurance car cela donne une borne pour les quantiles extrêmes. Par ailleurs, obtenir des bornes optimales du coût de transport quadratique dans le TCL permet d'estimer les quantiles et superquantiles de la loi de la somme partielle renormalisée soit par racine de n, soit par la racine de Var(Sn). Indiquons que les superquantiles sont appelés également CVar (conditional value at risk) ou ES (expected shortfall) en finance. Pour finir, avoir à sa disposition une borne optimale du coût de transport quadratique entre la loi de la somme partielle sachant le passé et son approximation gaussienne permet généralement d'obtenir des vitesses dans les approximations fortes (c'est à dire l'approximation de sommes de variables dépendantes par des sommes de variables Gaussiennes indépendantes et identiquement distribuées (iid), avec des vitesses presque sûres ou dans L^1). Jusqu'à présent, la meilleure vitesse connue concernant les approximations fortes pour les sommes partielles associées à des observables non bornées des transformations sus-mentionnées est en O(n^1/3) presque sûrement (à un facteur logarithmique près). Obtenir des bornes optimales pour le coût de transport quadratique dans le cadre non borné, permettrait d'obtenir des erreurs jusqu'à O(n^1/4) (toujours à un facteur logarithmique près).

The thesis will be mainly devoted to obtain sharp deviation inequalities and optimal upper bounds for the quadratic transportation cost in the (conditional) central limit theorem, for partial sums associated with functionals of iterates in case of nonuniformly expanding maps, as the Pomeau-Manneville maps. Deriving sharp deviation inequalities of Fuk-Nagaev's type has applications for instance in insurance since, as a by product, we can obtain upper bounds for extreme quantiles. On another hand, deriving optimal upper bounds for the quadratic transportation cost in the central limit theorem allows to give estimates of the quantiles and super quantiles of the partial sum divided by either the square root of n or by its standard deviation. Let us mention that the superquantiles are also known as either the CVar (conditional value at risk) or ES (expected shortfall) in finance. Finally, sharp upper bounds for the quadratic transportation cost in the conditional central limit theorem are key ingredients to get rates in the strong approximation theorem which asserts that we can construct a Gaussian process such that we can control, in an optimal way, the error between the trajectories of the partial sums process and the Gaussian one. Up to now, the best known rate in the strong approximation theorem of unbounded observables of the iterates of nonuniformly expanding maps are (up to some logarithmic terms) of order n at the power one third. The aim of the thesis will be to go beyong of this rate!