Le modèle des permutations aléatoires spatiales avec interaction bosonique

Spatial random permutations model with bosonic interactions

• Auteur / Autrice : Guillaume Bellot
• Direction : Mylène Maïda, David Dereudre
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2022
• Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : MADIS Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé

Mots clés

Mots clés libres

Processus ponctuel de Gibbs

Condensation de Bose-Einstein

Physique statistique

Gibbs point process

Bose-Einstein condensate

Statistical physics

Résumé

L'étude d'une permutation aléatoire choisie uniformément dans l'ensemble de toutes les permutations de Sn est un sujet classique en théorie des probabilités. On peut s'intéresser par exemple à sa structure en cycles [1], à sa plus longue sous-suite croissante [3] etc. D'autres mesures de probabilités sur les permutations ont été étudiées comme la mesure d'Ewens, avec des motivations de génétique, ou encore les mesures de Mallows, avec des poids qui dépendent de la structure algébrique de la permutation. On se propose ici d'étudier un modèle spatial issu de la physique quantique pour représenter un gaz de bosons. Dans le cas sans interaction (gaz de bosons libre), le modèle est assez simple : si on se fixe n points l'espace à d dimensions, on peut définir une mesure Gaussienne sur l'ensemble Sn. On peut également rajouter de l'aléa sur les points d'abord en volume fini, puis en volume infini. Dans l'article [5] les auteurs construisent proprement le modèle, y compris en volume infini et étudient l'existence de très grands cycles, mettant en évidence une transition de phase en fonction des paramètres du modèle. Ce modèle sera étudié en détail en début de thèse et sera la porte d'entrée pour le modèle avec interaction. L'interaction entre les particules provient d'un hamiltonien qui se calcule via des intégrales d'une interaction par paires le long de ponts browniens entre les particules. La complexité de cette hamiltonien vient d'une représentation de Feynman Kac d'un hamiltonien quantique en une version classique. Voir l'article [4] pour les détails. L'étude de ce modèle sera le cœur de la thèse. Nous chercherons à montrer des équations DLR dans l'esprit de [2] et, dans la continuité de [5], un résultat de transition de phase montrant l'émergence de cycles infinis pour un certain jeu de paramètres. [1] R. Arratia, A. Barbour, S. Tavaré, Logarithmic Combinatorial Structure : A probabilistic approach, European Mathematical Society, 2003 [2] I. Armendáriz, P. A. Ferrari, S. Yuhjtman, Gaussian random permutation and the boson point process, arXiv:1906.11120 [3] J. Baik, Deift, K. Johansson, On the Distribution of the Length of the Longest Increasing Subsequence of Random Permutations, Journal of the American Mathematical Society, 1999 [4] J. Ginibre, Some applications of functional integration in statistical mechanics, Ecole d'Eté de Physique Théorique, Les Houches, France, 1970 [5] V. Betz, D. Ueltschi, Spatial random permutations and infinite cycles, Communications in mathematical Physics, 2009

The study of random permutations drawn uniformly in the permutations set Sn is a classic matter in probability. One can get interested in its cycle decomposition [1], in its longest increasing subsequence [3] etc. Other probability measures over permutations can be studied like Ewens measure, with motivation from genetics, or Mallows measure, with weights depending on the algebric structure of the permutation. We intend to study a spatial model from physics that represents a boson gas. In the case without interactions (free boson gas), the model is quite simple : if we fix n points in d-dimensionnal space, one can define a gaussian measure over the set Sn. One can also add randomness over the points. First in a finite volume framework, then in infinite volume. In article [5] the authors construct properly the model, including in the infinite volume framework and study the existence of very large cycles, proving a phase transition depending on the parameters of the model. This model will be studied in detail in the beginning of the PhD and will be the gateway for the model with interactions. The interaction comes from a hamiltonian, computed with integrals of a pairwise interaction along brownian bridges between particules. The complexity of this hamiltonian comes from a Feynman Kac representation of a quantic hamiltonian in a classic version. See article [4] for further details. The study of this model will be the heart of the PhD. We will try to show DLR equations in line with the spirit of [2] and, following on from [5], a result of phase transition proving the emergence of infinite cycles for some parameter set. [1] R. Arratia, A. Barbour, S. Tavaré, Logarithmic Combinatorial Structure : A probabilistic approach, European Mathematical Society, 2003 [2] I. Armendáriz, P. A. Ferrari, S. Yuhjtman, Gaussian random permutation and the boson point process, arXiv:1906.11120 [3] J. Baik, Deift, K. Johansson, On the Distribution of the Length of the Longest Increasing Subsequence of Random Permutations, Journal of the American Mathematical Society, 1999 [4] J. Ginibre, Some applications of functional integration in statistical mechanics, Ecole d'Eté de Physique Théorique, Les Houches, France, 1970 [5] V. Betz, D. Ueltschi, Spatial random permutations and infinite cycles, Communications in mathematical Physics, 2009