Matrices aléatoires et gestion de risque de portefeuilles financiers de grande taille

Random matrices and financial portfolio risk management in high dimension

• Auteur / Autrice : Lamia Lamrani
• Direction : Damien Challet, Sandrine Peche, Jean-Philippe Bouchaud
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Inscription en doctorat le 28/09/2022
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale INTERFACES : approches interdisciplinaires, fondements, applications et innovation
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Mathématiques et Informatique pour la Complexité et les Systèmes - EA 4037
• Partenaire(s) de recherche : référent : CentraleSupélec

Mots clés

Mots clés libres

Matrices Aléatoires

Statistiques en grande dimension

Gestion de risque

Finance

Random matrix theory

High dimensional statistics

Risk management

Finance

Résumé

L'estimation des matrices de variance-covariance de grande taille est une question importante dans de nombreux domaines (finance, économie, ...). Dans le cas où la taille de la matrice à estimer n'est pas négligeable devant le nombre d'observation des données dont on dispose, l'estimateur empirique est peu efficace. Ce cas de figure est fréquent en pratique car on dispose rarement de très grands jeux de données et parce qu'il n'est parfois pas efficace de considérer des données trop anciennes (séries temporelles non-stationnaires). La théorie des matrices aléatoires s'intéresse au comportement des valeurs propres et vecteurs propres des matrices dont la taille tend vers l'infini et a permis l'émergence de plusieurs techniques d'estimation. Cette thèse a pour objectif d'utiliser la théorie des matrices aléatoires afin d'analyser mathématiquement, numériquement et de développer de tels modèles et ensuite de les appliquer à la gestion de risques de portefeuilles financiers de grande taille. On essaiera en particulier de mieux généraliser les estimateurs de Ledoit-Péché, analyser l'oracle moyen, la crossvalidation et finalement de les fusionner avec des techniques provenant de l'économétrie.

The estimation of large covariance matrices is an important issue in many fields (finance, economics, ...). When the size of the matrix to be estimated is not negligible in view of the number of observations of the data available, the empirical estimator is not efficient. This is a common case in practice because very large datasets are rarely available and because it is sometimes not effective to consider data that are too old (non-stationary time series). The random matrix theory is interested in the behavior of eigenvalues and eigenvectors of matrices whose size tends to infinity and has allowed the emergence of several estimation techniques. This thesis aims to use the theory of random matrices in order to analyze mathematically, numerically and develop such models and then to apply them to the risk management of large financial portfolios. A particular emphasis will be put on generalizing better Ledoit-Péché's estimators, the Average Oracle, crossvalidation and also on merging with techniques from econometrics