Jeux à champ moyen : jeux potentiels et méthodes par dualité

Mean field games: potential games and duality methods

• Auteur / Autrice : Thibault Moquet
• Direction : Guilherme Mazanti, Laurent Pfeiffer
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2022
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : FDM - Fédération de Mathématiques - FR CNRS 3487
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Statistique
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Faculté des sciences d'Orsay

Mots clés

Mots clés libres

Jeux à champ moyen

Jeux potentiels

Dualité

Optimisation

Contrôle optimal

Mean-field games

Potential games

Duality

Optimization

Optimal control

Résumé

Les jeux à champ moyen sont des jeux dynamiques avec un continuum d'agents supposés rationnels, indiscernables et influencés uniquement par le « comportement moyen » des autres agents, à travers une interaction de type « champ moyen ». Ces modèles ont été très étudiés depuis les travaux fondateurs [1-5] mais l'approximation numérique de leurs équilibres demeure un sujet de recherche très actif à cause notamment de la structure progressive-rétrograde des équations aux dérivées partielles caractérisant les équilibres. Ce projet a pour but l'implémentation de nouvelles méthodes numériques pour différents modèles de jeux à champ moyen avec une structure potentielle, c'est-à-dire dans laquelle l'équilibre du jeu peut être décrit comme minimiseur d'une certaine fonction. L'idée principale est de formuler le problème dual comme un problème de contrôle optimal, dans lequel la fonction valeur est considérée comme une variable d'état. De façon générale, le travail de programmation sera précédé d'une analyse théorique rigoureuse portant sur le caractère bien posé des algorithmes et sur leur convergence. Ce travail théorique pourra susciter l'étude de questions fondamentales sur divers modèles (existence, unicité, régularité des solutions).

Mean field games are dynamic games with a continuum of agents, assumed to be rational, indistinguishable, and influenced only by the 'average behavior' of other agents through a 'mean field'-type interaction. These models have been extensively studied since the foundational works [1-5], however the numerical approximation of their equilibria remains an active research topic due mainly to the forward-backward structure of the partial differential equations characterizing equilibria. This project aims at implementing new numerical methods for different models of potential mean field games, i.e., games in which equilibria can be described as minimizers of a certain function. The main idea is to formulate the dual problem as an optimal control problem, in which the value function plays the role of state variable. During the thesis, all programming work will be preceded by a rigorous theoretical analysis on the well-posednees of the proposed algorithms and their convergence. This theoretical work may lead to the study of fundamental questions on various models (existence, uniqueness, regularity of solutions).