Analyse mathématique de quelques équations cinétiques de type Fermi-Dirac : théorie de Cauchy et limites hydrodynamiques

Mathematical analysis of some kinetic equations of Fermi-Dirac type: Cauchy theory and hydrodynamic limits

• Auteur / Autrice : Paulo Sampaio
• Direction : Kleber Carrapatoso, François Golse
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2022
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : CMLS - Centre de mathématiques Laurent Schwartz
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Analyse et EDP

Mots clés

Mots clés libres

Modèles cinétiques

Mécanique quantique

Problème de Cauchy

Limite semi-classique

Limite hydrodynamique

Kinetic models

Quantum mechanics

Cauchy problem

Semi-classical limit

Hydrodynamic limit

Résumé

Les modèles cinétiques proposent une description des gaz ou des plasmas au moyen d'une “fonction de distribution” densité de probabilité de présence dans l'espace des phases à une particule (molécule, dans le cas des gaz électriquement neutres, ou ions dans le cas des plasmas). Dans le cas de particules quantiques, il faut tenir compte des contraintes imposées par la statistique. Ainsi, pour une statistique de Fermi-Dirac, le principe d'exclusion de Pauli impose une borne supérieure à priori sur la fonction de distribution. Cette information supplémentaire doit en principe simplifier l'analyse mathématique des équations cinétiques correspondantes. On va s'intéresser dans ce projet au modèle cinétique quantique décrit par l'équation de Landau-Fermi-Dirac. Plus précisément, on s'intéressera aux questions suivantes : - dérivation de l'équation - existence, régularité et comportement asymptotique en temps long des solutions - solutions stationnaires

Kinetic models offer a description of gases or plasmas by means of a “distribution function”, which is the density of probability of presence in the phase space of a single particle (molecules, in the case of neutral gases, or ions in the case of plasmas). In the case of quantum particles, the constraints imposed by statistics must be taken into account. Thus, for a Fermi-Dirac statistic, the Pauli's exclusion principle imposes an a priori upper bound on the distribution function. This additional information should in principle simplify the mathematical analysis of the corresponding kinetic equations. In this project we shall be interested in the kinetic quantum model described by the Landau-Fermi-Dirac equation. More precisely, we shall be interested in the following questions: - derivation of the equation - existence, regularity and large-time behaviour of solutions - stationary solutions