Solitons pour l'équation de Landau-Lifshitz

Solitons for Landau-Lifshitz type equations

• Auteur / Autrice : Erwan Le quiniou
• Direction : André De-laire, Olivier Goubet
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2022
• Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : MADIS Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : PAINLEVE-INRIA

Mots clés

Mots clés libres

Solitons

Équation aux dérivées partielles

Dynamiques non linéaires

Gross-Pitaevskii

Optique non linéaire

Condensat Bose-Einstein

Solitons

Partial differential equations

Nonlinear behavior

Gross-Pitaevskii

Nonlinear optics

Condensate Bose-Einstein

Résumé

Ce projet de thèse concerne l'étude mathématiques des équation de type Schrödinger non linéaires (NLS) qui constituent des modèles fondamentaux en optique non linéaire et en mécanique des fluides quantiques. Elles décrivent respectivement l'évolution temporelle du champ électromagnétiques des photons d'un laser dans des milieux soumis à l'effet Kerr et l'évolution de la fonction d'onde des condensats de Bose-Einstein pour les superfluides. En particulier ces équations fournissent une riche source de phénomènes non linéaires tels que les solitons. Les solitons sont des solutions particulières de NLS avec une densité localisée, qui se propagent sans s'étaler à vitesse constante. Ces solutions particulières sont fondamentales car elles capturent la dynamique en temps long des solutions. Nous nous intéresserons à la classification et à la stabilité des solitons de NLS avec des conditions non nulles à l'infini pour des nonlinéarités quasilinéaires ou non locales pour considerer des nouveaux effets physiques. Pour cela, nous étudierons également le temps d'existence des solutions de NLS. Nous nous intéresseront en particulier au régime des ondes longues dans le cas non local qui permet de saisir la dynamique complexe de NLS grâce à la dynamique de l'équation de KdV et KP-I.

This project concerns the mathematical study of nonlinear Schrödinger equations (NLS), which are fundamental models in nonlinear optics and in quantum hydrodynamics. They describe respectively the time evolution of the photon electro-magnetic field in lasers within medias with the Kerr effect and the evolution of Bose-Einstein condensates wavefunction in superfluidity. In particular, these equations exhibit many nonlinear phenomena such as solitons. Solitons are particular solutions to the NLS equation, with a localized density, propagating without spreading at constant speed. These solutions are fundamentals because they explain the long-time dynamics of the NLS equation. We will be interested in the classification and stability of solitons when considering nonzero conditions at infinity and quasilinear or nonlocal types of nonlinearities to consider new physical effects. To do so, we will also study the time existence of NLS solutions. In particular, we will be interested in the long-wave regime which allows us to grasp the complex dynamics of NLS with the dynamics of the KdV and KP-I equation.