Une approche microlocale à la résolution numérique de l'équation de Helmholtz

A microlocal approach to the numerical solution of Helmholtz problems

• Auteur / Autrice : Florentin Proust
• Direction : Maxime Ingremeau, Théophile Chaumont-frelet
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Doctorat mathematiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/11/2022
• Etablissement(s) : Université Côte d'Azur
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : INRIA - ATLANTIS - Modélisation et méthodes numériques pour le calcul d'interactions onde-matière nanostructurée

Mots clés

Mots clés libres

Équation de Helmholtz

Méthodes numériques

Analyse microlocale

Helmholtz equation

Numerical methods

Microlocal analysis

Résumé

L'équation de Helmholtz décrit les solutions périodiques de l'équation des ondes (éventuellement dans un milieu hétérogène, dans un milieu borné, avec des conditions aux limites...). En général, il n'existe pas de solution explicite à une telle équation, et il faut donc en calculer numériquement une solution approchée. Toutes les méthodes existantes (éléments finis, différences finies...) ont en commun qu'elles sont de plus en plus coûteuses quand la fréquence des ondes augmente. Le but de cette thèse est de découvrir de nouvelles méthodes numériques pour résoudre cette équation, mieux adaptées au régime des hautes fréquences. Ces méthodes sont inspirées de considérations théoriques d'analyse microlocale et de théorie des ondelettes.

Helmholtz problems describe the periodic solutions of the wave equation (possibly in a heterogeneous medium, in a bounded medium, with boundary conditions...). In general, there is no explicit solution to such an equation, and an approximate solution of the equation must be computed numerically. All the existing methods (finite elements, finite differences...) have in common that they are more and more expensive when the frequency of the waves increases. The goal of this thesis is to discover new numerical methods to solve this equation, better adapted to the high-frequency regime. These methods are inspired by theoretical considerations of microlocal analysis and wavelet theory.