Réduction de Dimension Couplée Entrée-Sortie pour la Quantification d'Incertitude

Coupled Input-Ouput Dimension Reduction for Uncertainty Quantification

• Auteur / Autrice : Qiao Chen
• Direction : Elise Arnaud
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques Appliquées
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 06/12/2024
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Jean Kuntzmann
• Jury : Président / Présidente : Florence Forbes
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Omar Ghattas, Olivier Roustant, Ricardo Baptista, Guillaume Perrin
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Omar Ghattas, Olivier Roustant

Mots clés

Mots clés libres

Réduction de dimension

Placement optimal de capteurs

Analyse de sensibilité

Dimension Reduction

Bayesian Optimal Experimental Design

Global Sensitivity Analysis

Résumé

Les travaux de cette thèse s'articulent autour de la réduction de l’espace d’entrée et de l’espace de sortie d'une fonction agissant sur des espaces de grande dimension. Classiquement, les méthodes de réduction de dimension sont appliquées de manière indépendante sur l'espace d'entrée et/ou de sortie. Bien qu'il existe quelques méthodes de réduction conjointe, elles sont pensées de manière algorithmiques, et peu analysées dans la littérature. Dans ce travail, une nouvelle méthode pour une réduction couplée est introduite : le choix d'un sous-espace d'entrée influence le sous-espace de sortie, et vice versa. En pratique, l'identification de ces espaces se fait par optimisation de bornes basées sur le gradient de la fonction. Plus précisément, une inégalité de type Poincaré est utilisée pour déterminer une borne supérieure ; et une inégalité de type Cramèr-Rao est introduite pour déterminer une borne inférieure de l'erreur intuite par la réduction de dimension. Ces bornes nous fournissent des estimations d'erreur rapides à calculer et un algorithme d'optimisation facile à mettre en œuvre, basé sur une décomposition en valeurs propres alternée de deux matrices de diagnostic. Des approches dites ''goal-oriented'' sont aussi proposées pour l'identification d'un sous-espace d'entrée qui soit pertinent pour une sortie d'intérêt prescrite, et réciproquement. Dans le premier cas (entrée->sortie), nous nous intéressons au problème de placement optimal de capteurs goal-oriented. Le but est d'identifier quelles sorties du modèle contiennent le plus d'information pour l'identification d'un paramètre d'entrée spécifié. Pour cela, nous maximisons le *gain d'information* mesuré avec la distance Kullback-Leibler entre la distribution a priori et l'a posteriori. Ce critère étant trop coûteux à évaluer numériquement, nous dérivons une borne inférieure frugale basée sur le gradient du modèle. Une solution analytique peut être facilement calculée pour la maximisation de cette borne, ce qui est un avantage pratique important. Dans le second cas (sortie->entrée), nous explorons les liens avec l'analyse de sensibilité globale. Notre méthode s'apparente aux mesures de sensibilité globale basées sur la dérivée (DGSM), offrant une alternative efficace en termes de calcul aux indices de Sobol'. En particulier, nous pouvons identifier les entrées les plus (ou les moins) sensibles en analysant une matrice de diagnostic qui dépend de la sortie d'intérêt. Nous montrons que les DGSM sont des bornes supérieures aux indices de Sobol' totaux d'ordre arbitraire. Aussi, grâce à notre inégalité de type Cramér-Rao, nous améliorons les bornes inférieures existantes des indices de Sobol' totaux.

The work of this thesis revolves around reducing the input and output spaces of a function that operates in high-dimensional spaces. Traditionally, dimension reduction methods are applied independently to the input and/or output space. While there are some joint reduction methods, they are typically algorithmic and sparsely analysed in the literature. In this work, a new method for coupled reduction is introduced, where the choice of an input subspace influences the output subspace and vice versa. In practice, the identification of these spaces is achieved by optimizing bounds based on the gradient of the function. More precisely, the Poincaré inequality is used to determine an upper bound, and a Cramér-Rao-like inequality is introduced to establish a lower bound for the error induced by the dimension reduction. These bounds provide fast-to-compute error estimates and an easy-to-implement optimization algorithm, based on an alternating eigenvalue decomposition of two diagnostic matrices. ''Goal-oriented'' approaches are also proposed for identifying an input subspace relevant to a prescribed output of interest, and conversely. In the first case (input->output), we address the problem of goal-oriented optimal sensor placement. The goal is to identify which model outputs contain the most information for identifying a specified input parameter. To achieve this, we maximize the expected information gain, measured by the expected Kullback-Leibler distance between the prior and posterior distributions. Since this criterion is computationally expensive to evaluate, we derive a cost-effective lower bound based on the model gradient. An analytical solution that maximises the bound can be easily computed, which offers significant practical advantages. In the second case (output->input), we explore the links with global sensitivity analysis. Our method resembles derivative-based global sensitivity measures (DGSM), offering a computationally efficient alternative to Sobol' indices. Specifically, we can identify the most (or least) sensitive inputs by analysing a diagnostic matrix that depends on the output of interest. We demonstrate that DGSM serves as an upper bound for total Sobol' indices of arbitrary order. Moreover, with our Cramér-Rao-like inequality, we improve existing lower bounds on total Sobol' indices.