Analyse mathématique de l'équation de Gross-Pitaevskii en milieu désordonné

Mathematical Analysis of the Gross-Pitaevskii equation in disordered media

• Auteur / Autrice : Pierre Mackowiak
• Direction : Anne De bouard
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2022
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : CMAP - Centre de Mathématiques appliquées
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Equations aux dérivées partielles pour la physique

Mots clés

Mots clés libres

EDP stochastiques singulières

Approximation-diffusion

EDP dispersives

Singular stochastic PDEs

Diffusion-approximation

Dispersive PDEs

Résumé

Le sujet de thèse proposé porte sur l'analyse mathématique d'une EDP dispersive, l'équation de Gross-Pitaevskii, en présence d'un milieu désordonné. Ce modèle est utilisé en particulier en condensation de Bose-Einstein et présente la particularité de contenir un potentiel de la forme bruit blanc spatial, donc singulier, ce qui rend potentiellement l'équation singulière et peut nécessiter l'utilisation d'une procédure de renormalisation (c'est le cas dès que la dimension de l'espace est supérieure ou égale à deux). On s'attachera en particulier à l'analyse des solutions, du point de vue de l'existence et l'unicité mais aussi de leur comportement qualitatif, et on s'attachera à justifier l'utilisation d'un bruit blanc spatial pour la modélisation.

The proposed subject is concerned with the mathematical analysis of a dispersive PDE, the Gross-Pitaevskii equation, in the presence of a disordered medium. This model is used in particular in Bose-Einstein condensation and has the particularity to contain a potential taking the form of a spatial white noise, which makes the equation potentially singular and may require the use of a renormalization procedure (this is the case as soon as the dimension of the space is greater than or equal to two). We will focus in particular on the analysis of the solutions, from the point of view of the existence and uniqueness but also of their qualitative behavior, and on the justification of the use of a spatial white noise for the modeling.