Populations en interactions, constructions d'épine et simulations stochastiques

Interacting population, spine construction and stochastic simulations

• Auteur / Autrice : Charles Medous
• Direction : Charline Smadi
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 06/12/2024
• Etablissement(s) : Université Grenoble Alpes
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, sciences et technologies de l'information, informatique (Grenoble ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Fourier
• Jury : Président / Présidente : Vincent Bansaye
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Charline Smadi, Jean-françois Delmas, Bertrand Cloez, Helene Leman, Didier Piau
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-françois Delmas, Simon Harris

Mots clés

Mots clés libres

Construction spinale

Simulations exactes

Processus stochastiques

Branchements

Comportement en temps long

Tous-pour-un

Long-time behavior

Stochastic systems

Spine process

Exact simulations

Branching process

Many-to-one

Résumé

Cette thèse porte sur l’étude probabiliste de populations d'individus en interactions, dont les comportements sont impactés par leurs trait. De telle populations sont décrites à l’aide d’un processus de branchement à valeurs mesures où chaque individu dans la population est caractérisé par un trait (l’âge, la taille, etc.) dont la dynamique au cours du temps est solution d'une équation différentielle stochastique. Ce trait détermine le cycle de vie de chaque individu : sa durée de vie, son nombre de descendants et le trait à la naissance de ses descendants. Dans un premier temps nous construisons, dans le cas d'une dynamique déterministe par morceaux, le processus avec épine, appelé processus auxiliaire, qui correspond au trait d’un individu ''typique'' dans la population, et établissons une formule Many-to-one, qui est utilisée pour établir un résultat de convergence de type Kesten-Stigum. Nous montrons que la construction avec épine que nous avons établi permet d'améliorer significativement l'efficacité des algorithmes de simulation de populations en interactions. Dans un second temps nous étendons la construction avec épine au cadre d'une dynamique de trait diffusive. Nous appliquons cette construction pour établir des résultats de comportements asymptotiques d'une population d'individus en compétition et corrélés par un environnent extérieur. Enfin, à partir du changement de mesure associé à la construction du processus avec épine, nous élargissons des méthodes de simulations exactes de trajectoires diffusives au cas de processus de branchements en interactions. Nous établissons une méthode algorithmique que nous appliquons à diverses exemples de populations en interactions.

This thesis focuses on the probabilistic study of interacting populations of individuals, whose behaviors are influenced by their traits. Such populations are described using a measure-valued branching process, where each individual in the population is characterized by a trait (such as age, size, etc.), and its dynamics over time are the solution of a stochastic differential equation. This trait determines each individual's life cycle: its lifespan, the number of its descendants, and the traits of its offspring at birth. First, in the case of piecewise deterministic dynamics, we construct the spine process known as the auxiliary process, which corresponds to the trait of a ''typical'' individual in the population. We then establish a Many-to-One formula, which is used to derive a Kesten-Stigum type convergence result. We show that the spine construction we developed can be used to significantly improve the efficiency of simulation algorithms for interacting populations. Secondly, we extend the spine construction to the framework of diffusive trait dynamics. We apply this construction to establish asymptotic behavior results for a population of individuals in competition, correlated through an external environment. Finally, using the change of measure associated with the spine construction, we expand exact simulation methods for diffusive trajectories to the case of interacting branching processes. We propose an algorithmic method that we apply to various examples of interacting populations.