Opérateurs sur des espaces de fonctions analytiques du disque unité : cyclicité et plongement dans des semi-groupes

Operators on analytic function spaces of the unit disc: cyclicity and embedding into semigroups

• Auteur / Autrice : Romain Lebreton
• Direction : Emmanuel Fricain, Isabelle Chalendar
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2022
• Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : MADIS Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé

Mots clés

Mots clés libres

Cyclicité

Plongement

Semi-groupe

Opérateur

Espace de Hardy

Espace de De Branges-Rovnyak

Cyclicity

Embedding

Semigroup

Operator

Hardy space

De Branges-Rovnyak space

Résumé

Cette thèse, située en analyse fonctionnelle, est centrée autour de l'étude des opérateurs sur des espaces de fonctions analytiques du disque unité. Celle-ci est constituée de deux parties relativement distinctes, l'une concernant la question de cyclicité et l'autre concernant la question de plongement dans des semi-groupes. Tandis que la question de la cyclicité de l'opérateur du shift a été résolue de manière complète dès 1949 par A. Beurling dans les espaces de Hardy $H^2$, il est naturel de se poser la même question pour d'autres espaces proches de ce dernier. Bien que des travaux aient été initiés par D. Sarason par la suite dans les espaces de De Branges-Rovnyak, sous-espaces de $H^2$ non nécessairement fermés notés $mathcal{H}(b)$, cette question reste alors un problème intéressant et stimulant pour plusieurs auteurs à ce jour. Une des problématiques de ce sujet de thèse est alors de caractériser la cyclicité du shift, tant sur les espaces de De Branges-Rovnyak que plus généralement sur des espaces de fonctions analytiques du disque unité. Nous pourrons ainsi utiliser une approche via les noyaux reproduisants ou bien un théorème de type théorème de la couronne de Carleson. Il est très naturel de se demander quels systèmes dynamiques discrets proviennent de systèmes dynamiques continus. La propriété au cœur de cette deuxième partie de la thèse est de déterminer des classes d'opérateurs linéaires et continus sur des espaces de Banach que nous pouvons plonger dans des semi-groupes fortement continus. En particulier, cette propriété de plongement implique l'existence de racines $n$-ième pour tout entier $n$, au sens de la composition pour l'opérateur considéré. Le fait que le spectre de l'opérateur soit contenu dans un domaine simplement connexe ne contenant pas 0 est une condition suffisante de plongement, comme on peut le voir via le calcul fonctionnel de Dunford-Riesz. Mais obtenir une condition nécessaire et suffisante pour un opérateur quelconque semble difficilement imaginable. Cette thèse se concentre donc sur l'obtention de critères pour des classes d'opérateurs particuliers mais largement étudiés comme les opérateurs intégraux (avec l'opérateur de Volterra qui constituera un exemple de base) ou encore les opérateurs de composition sur des espaces de fonctions holomorphes. Nous pourrons ainsi utiliser des outils de dynamique holomorphe comme les modèles pour les semi-flots analytiques du disque unité.

This thesis, situated in functional analysis, focuses on the study of operators on spaces of analytic functions in the unit disc. It is composed of two relatively distinct parts: one concerning the question of cyclicity and the other concerning the question of embedding in semigroups. While the question of the cyclicity of the shift operator was fully resolved as early as 1949 by A. Beurling in Hardy spaces $H^2$, it is natural to ask the same question for other spaces closely related to it. Although work was initiated by D. Sarason later on in De Branges-Rovnyak spaces, subspaces of $H^2$ that are not necessarily closed, denoted $mathcal{H}(b)$, this question remains an interesting and challenging problem for several authors to this day. One of the issues addressed in this thesis is to characterize the cyclicity of the shift operator, both in De Branges-Rovnyak spaces and, more generally, in spaces of analytic functions in the unit disc. One can thus use an approach based on reproducing kernels or a theorem of the Carleson corona type. It is very natural to wonder which discrete dynamical systems come from continuous dynamical systems. The key property of this second part of the thesis is to determine classes of linear and continuous operators on Banach spaces that can be embedded into strongly continuous semigroups. In particular, this embedding property implies the existence of $n$th roots for any integer $n$. When the operator's spectrum is contained in a simply connected domain not containing 0, a sufficient condition clearly appears thanks to the Dunford-Riesz functional calculus. However, obtaining a necessary and sufficient condition for any operator seems out of space. This thesis will therefore focus on establishing criteria for particular but widely studied classes of operators (such as integral operators with the Volterra operator as a fundamental example) as well as composition operators on spaces of holomorphic functions. One can thus use tools of holomorphic dynamics such as models for analytical semiflows on the unit disc.