Généralisations de groupes de réflexions complexes de rang 2 et structures de Garside associées

Generalisations of complex reflection groups of rank 2, and associated Garside structures

• Auteur / Autrice : Igor Haladjian
• Direction : Thomas Gobet, Cédric Lecouvey
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 30/09/2022
• Etablissement(s) : Tours
• Ecole(s) doctorale(s) : Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes - MIPTIS
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : IDP - Institut Denis Poisson

Mots clés

Mots clés libres

Groupes de réflexions complexes

Groupes de tresses

Groupes de Garside

Complex reflection groups

Braid groups

Garside Groups

Résumé

Le but de cette thèse est de définir et d'étudier certaines généralisations de groupes de réflexions complexes de rang 2 étroitement liées aux groupes de noeuds toriques, et de définir un groupe de tresses associé, de façon à généraliser les constructions connues pour les groupes de réflexions complexes. En outre, on étudiera - Les structures de Garside sur ces 'groupes de tresses', et éventuellement l'implémentation de la solution au problème des mots qui en découle sur ordinateur, - La structure de ces groupes de réflexions généralisés (présentations par générateurs et relations, centre, classification, etc.) - La structure du treillis des éléments simples pour les structures de Garside introduites. On pourra aussi s'intéresser aux représentations de ces groupes, en particulier, à l'étude d'une analogue d'algèbre de Iwahori-Hecke pour ces groupes, ainsi que d'autres représentations reliées.

The aim of the thesis is to introduce and study certain generalisations of complex reflection groups of rank two. These generalisations will be closely related to torus knot groups. One aim will be to associate a braid group to these groups, generalising the constructions which are known for finite complex reflection groups. We will study: - The Garside structures on these 'braid groups'. If possible, we will implement the obtained solutions to the word problem on a computer, - The structure of these generalised reflection groups (presentations by generators and relations, center, classification, etc.); - The lattice structure on the set of simple elements for the obtained Garside structures. We shall also study certain representations of these groupes, in particular, analogs of the Iwahori-Hecke algebras, and other related representations.