Polynômes, facteurs premiers et chiffres

Polynomials, prime factors and digits

• Auteur / Autrice : Nathan Toumi
• Direction : Thomas Stoll, Cécile Dartyge
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 10/10/2022
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : IAEM - INFORMATIQUE - AUTOMATIQUE - ELECTRONIQUE - ELECTROTECHNIQUE - MATHEMATIQUES
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : IECL - Institut Elie Cartan de Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : ANALYSE ET THEORIE DES NOMBRES

Mots clés

Mots clés libres

Combinatoire

Théorie des nombres

Chiffres

Number theory

Combinatorics

Digits

Résumé

L'objectif de ce projet de thèse est l'étude des propriétés arithmétiques et celle des chiffres des valeurs polynomiales pour un polynôme P à valeurs entières donné. Le sujet se décompose en deux volets. Le premier volet se trouve autour de la question suivante : existe-t-il une infinité d'entiers tels que P(n) soit un nombre premier ? Le problème est toujours ouvert pour des polynômes de degré supérieur à 2. Une voie d'approche, initiée par Tchébychev, est de déterminer des valeurs de P(n) avec un grand facteur premier. Heath-Brown a montré qu'il existait une proportion positive d'entiers n tels que n^3+2 ait un facteur premier supérieur à n^{1+c} avec une constante explicite et absolue c>0. Ce résultat est vraisemblablement valable pour d'autres polynômes cubiques. Le premier problème proposé dans ce projet de thèse est de vérifier si le polynôme X^3+2 peut être remplacé par un polynôme unitaire et irréductible de degré 3 général et, le cas échéant, de déterminer les contraintes sur le groupe de Galois associé à ce polynôme. Le deuxième volet du projet de thèse est dédié à la question de la répartition des chiffres des valeurs polynomiales quand les bases des systèmes de numération sont distinctes. Etant donnés deux polynômes distincts, la fonction sommes de chiffres (parmi d'autres exemples de fonctions digitales) en deux bases différentes est-elle équirépartie dans les progressions arithmétiques ? Des résultats généraux sont connus uniquement dans le cas d'une seule base : pour les polynômes de degré 1 et 2, et plus généralement pour des polynômes de degré arbitraire si la base est suffisamment grande. L'objectif de ce deuxième volet est d'étudier les contraintes et les différentes régions de validité relatives à cette question.

The aim of the thesis project is the investigation of the arithmetic properties and the properties of digital nature of integer-valued polynomials P. The subject is split into two parts : The first part is devoted to the question of prime numbers represented by polynomials: Are there infinitely many integers n such that P(n) is a prime number? This problem is still widely open for polynomials of degree larger than or equal to 2. A possible approach, initiated by Chebychev, is to determine de values of P(n) that have a large prime factor. Heath-Brown showed that there is a positive proportion of integers n such that n^3+2 has a prime factor larger that n^{1+c} for some explicit absolute constant c>0. This result seem to hold true for other cubic polynomials, too. The first problem for this thesis to verify whether X^3+2 can indeed be replaced by another monic and irreducible polynomial of degree 3 and, more specifically, to determine the restrictions on the associated Galois group. The second topic of the thesis project is dedicated to the question of the distribution of the digits in two different bases of polynomial values. Is, for instance, the sum-of-digits function of polynomials taken in two different bases equidistributed in arithmetic progressions? General results are known only in the case of a single base: for the polynomials of degree 1 and 2, and more generally for the polynomials of arbitrary degree if the base of the numeration system is sufficiently large. The aim of this second part of the project is to study the restrictions and the validity of the estimates in the various regions when several bases are taken into account.