Étude de codes LDPC quantiques et de leur décodage

Study of quantum LDPC codes and their decoding

• Auteur / Autrice : Wouter Rozendaal
• Direction : Gilles Zemor
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques Pures
• Date : Inscription en doctorat le 06/10/2022
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques et informatique
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Théorie des nombres

Mots clés

Mots clés libres

Code quantique

Théorie des codes

Décodage

Informatique quantique

Quantum code

Coding theory

Decoding

Quantum computing

Résumé

Les codes quantiques de type LDPC (Low Density Parity Check, à matrice de parité creuse) sont considérés comme un passage obligé pour l'avènement de l'ordinateur quantique, qui ne peut fonctionner à grande échelle qu'en intégrant une part importante de correction d'erreurs. Ce sous-domaine de la correction d'erreurs quantiques est le plus actif actuellement et a connu des développements tout à fait spectaculaires ces deux dernières années. Jusqu'en 2020, on ne savait pas s'il existait des codes LDPC quantiques de distance minimale significativement au-dessus de la racine carrée du nombre total de qubits, même pour des codes de dimension 1. Depuis fin 2021, on sait maintenant qu'il existe des familles de codes LDPC quantiques asymptotiquement bons, c'est-à-dire de distance minimale croissant de manière linéaire avec le nombre de qubits, ainsi qu'un rendement constant, c'est-à-dire encodant un nombre linéaire de qubits logiques [PK22] [LZ22a]. Encore plus récemment, ont été proposés des algorithmes de décodage pour ces codes [LZ22b], [GPT22], [DHLV22]. Ces nouvelles familles de codes peuvent être considérés comme une généralisation 2-dimensionnelle des constructions de Tanner-Sipser-Spielman de codes dits 'expanseurs', s'appuyant sur un graphe aux bonnes propriétés d'expansion. Le graphe est ici remplacé par un objet géométrique de dimension 2, un 'complexe carré'. Ces nouvelles constructions suggèrent toutes sortes d'investigations. En particulier, les algorithmes de décodage proposés permettent de démontrer des résultats asymptotiques mais ne sont pas réalistes du point de vue de la complexité algorithmique. Plus généralement, la problématique du décodage de bons codes quantiques LDPC est particulièrement d'actualité. En particulier le domaine devient suffisamment mûr pour que l'on puisse tenter quelques techniques de type 'message passing' qui se sont avérées si puissantes pour les LDPC classiques. [DHLV22] I. Dinur, M-H Hsieh, T-C. Lin, T. Vidick. Good Quantum LDPC Codes with Linear Time Decoders. https://arxiv.org/abs/2206.07750. [GPT22] S. Gu, C. A. Pattison, E. Tang. An efficient decoder for a linear distance quantum LDPC code. https://arxiv.org/abs/2206.06557 [LZ22a] A. Leverrier, G. Zémor. Quantum Tanner codes. https://arxiv.org/abs/2202.13641 [LZ22b] A. Leverrier, G. Zémor. Efficient decoding up to a constant fraction of the code length for asymptotically good quantum codes. https://arxiv.org/abs/2206.07571 [PK22] P. Panteleev, G. Kalachev. Asymptotically good quantum and locally testable classical codes, STOC 22.

Good quantum Low Density Parity Check (LDPC) codes are considered a necessary component of a large-scale quantum computer. Indeed, large quantum computers will need some form of quantum error correction, and keeping encoding and syndrome measurement manageable translates into the LDPC requirement. This subfield of quantum coding is the most active today and has witnessed dramatic developments during the last couple of years. Until 2020, we did not know whether there exist quantum LDPC codes with a minimum distance significantly above the square root of the number of qubits, even for codes of dimension 1. Since the end of 2021, we now know that there exist asymptotically good quantum LDPC codes, meaning with a minimum distance that grows linearly with the blocklength (number of qubits), and constant rate, meaning encoding a linear number of logical qubits [PK22] [LZ22a]. Even more recently, decoding algorithms were proposed for these codes LZ22b], [GPT22], [DHLV22]. These new families of codes can be considered as a 2-dimensional generalisation of the construction of Tanner-Sipser-Spielman of classical 'expander codes', that rely upon a graph with good expansion properties. In the quantum setting, the graph is replaced by a 2-dimensional geometric object called a 'square complex'. These new constructions suggest all sorts of investigations. In particular, the decoding algorithms that have been put forward prove asymptotic results but are not realistic from the point of view of algorithmic complexity. More generally, the issue of decoding is especially timely. In particular, the field is now sufficiently mature to attempt using message-passing techniques that have proved to be so powerful for classical LDPC codes. [DHLV22] I. Dinur, M-H Hsieh, T-C. Lin, T. Vidick. Good Quantum LDPC Codes with Linear Time Decoders. https://arxiv.org/abs/2206.07750. [GPT22] S. Gu, C. A. Pattison, E. Tang. An efficient decoder for a linear distance quantum LDPC code. https://arxiv.org/abs/2206.06557 [LZ22a] A. Leverrier, G. Zémor. Quantum Tanner codes. https://arxiv.org/abs/2202.13641 [LZ22b] A. Leverrier, G. Zémor. Efficient decoding up to a constant fraction of the code length for asymptotically good quantum codes. https://arxiv.org/abs/2206.07571 [PK22] P. Panteleev, G. Kalachev. Asymptotically good quantum and locally testable classical codes, STOC 22.