Construction d'approximations effectives pour des EDPs multiéchelles à partir d'information limitée

Effective approximations for multiscale PDEs based on limited information

• Auteur / Autrice : Simon Ruget
• Direction : Frédéric Legoll, Claude Le Bris
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences de l'ingénieur
• Date : Soutenance le 02/12/2025
• Etablissement(s) : Marne-la-vallée, ENPC
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, Ingénierie et Environnement (Champs-sur-Marne ; 2010-....)
• Partenaire(s) de recherche : Financeur : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France ; 1979-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre d'enseignement et de recherche en mathématiques et calcul scientifique (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : MATHematics for matERIALS
• Jury : Président / Présidente : Albert Cohen
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Frédéric Legoll, Claude Le Bris, Olga Mula Hernandez, Olivier Pantz, Habib Ammari, Laure Giovangigli
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Olga Mula Hernandez, Olivier Pantz
• DOI : 10.70675/547895e3z84d4z4d78z96fcz648116184380

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations aux dérivées partielles

Perturbation (théorie quantique)

Problème inverse de diffusion

Mots clés libres

Équations aux dérivées partielles

Approximation effective

Information incomplète

Théorie de l'homogénéisation

Optimisation

Problème inverse

Partial Differential Equations

Effective Approximation

Incomplete information

Homogenization theory

Optimization

Inverse problems

Résumé

Cette thèse porte sur le développement de méthodes d'approximation pour des équations aux dérivées partielles (EDP) multi échelles. Les contextes étudiés se caractérisent par une information disponible limitée, tant sur le plan qualitatif que quantitatif. Les approches proposées sont inspirées de la théorie de l'homogénéisation et exploitent des mesures d'observables liées au système. Trois variantes sont étudiées, correspondant à des situations réalistes du point de vue expérimental. Dans le Chapitre 2, un coefficient effectif pour une EDP de diffusion hétérogène est défini. La méthodologie consiste en un problème d'optimisation construit à partir de mesures globales représentées sous forme d'intégrales en bord de domaine. Les solutions de l'EDP effective approchent les solutions du problème original. Des résultats théoriques et numériques confirment la qualité du coefficient effectif proposé. Dans le Chapitre 3, une extension est proposée pour intégrer la connaissance d'un coefficient effectif de référence. En linéarisant les quantités d'intérêt via la théorie des perturbations, un problème d'optimisation moins coûteux à résoudre est formulé. Dans le Chapitre 4, une procédure algorithmique est développée pour sélectionner efficacement le meilleur coefficient effectif au sein d'une liste de candidats possibles. Des tests numériques illustrent l'efficacité de la procédure. Au cours de ces travaux, l'espace de recherche pour le coefficient effectif est progressivement réduit.

This thesis focuses on the development of approximation methods for multiscale partial differential equations (PDEs).The context is characterized by limited available information from both qualitative and quantitative points of view.The proposed approaches are inspired by homogenization theory and constructed from measurements of system observables.Different variants are studied, corresponding to situations where the information used is realistic from an experimental perspective.In Chapter 2, an effective coefficient for a diffusion PDE is defined. The methodology consists in an optimization problem constructed from global measurements in the form of boundary integrals. The solutions to the effective PDE approximate the solutions to the original problem. Theoretical and numerical results confirm the quality of the proposed effective coefficient.In Chapter 3, an extension is proposed to incorporate knowledge of a reference effective coefficient. By linearizing the quantities of interest using perturbation theory, a computationally less expensive optimization problem is formulated.In Chapter 4, an algorithmic procedure is developed to efficiently select the best effective coefficient from a list of possible candidates. Numerical tests illustrate the efficiency of this procedure.In the course of these three chapters, the search space for the effective coefficient is progressively reduced.