Conditionnement et pénalisation d'arbres de Galton-Watson marqués

Conditioning and penalization of marked Galton-Watson trees

• Auteur / Autrice : Sonia Boulal
• Direction : Romain Abraham
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2022
• Etablissement(s) : Orléans
• Ecole(s) doctorale(s) : Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes - MIPTIS
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Denis Poisson (Orléans, Tours ; 2018-....)

Mots clés

Mots clés libres

Processus de Galton-Watson

Arbres aléatoires

Comportements asymptotiques

Galton-Watson processes

Random trees

Asymptotic behaviour

Résumé

Le processus de Galton-Watson est un modèle très simple d'evolution de population où chaque individu se reproduit indépendamment de tous les autres selon une même loi fixée. Il est connu que dans le cas sous-critique (le nombre moyen d'enfants par individu est strictement inférieur à 1) et dans le cas critique (le nombre moyen d'enfants par individu est exactement 1), la population s'éteint en temps fini. Depuis quelques années beaucoup d'auteurs se sont intéressés à décrire cette population (ou plutôt l'arbre généalogique qui lui est associé) lorsqu'elle est anormalement grande et donc de mettre en évidence l'évènement exceptionnel qui s'est produit afin d'obtenir ce comportement particulier. D'un point de vue mathématique, cela consiste à conditionner la loi de l'arbre à un évènement de la forme {A(T)=n où A est une fonctionnelle de l'arbre T (typiquement, A(T) est la dernière génération survivante, ou bien le nombre total d'individus dams la population,...) et à regarder la limite (en loi) lorsque n tend vers l'infini. Dans un travail récent avec A. Bouaziz et J.-F. Delmas, nous avons considéré d'autres types d'évènements faisant intervenir une source d'aléa supplémentaire. En particulier, nous avons ajouté une 'marque' aléatoire sur chaque individu avec une probabilité dépendant du nombre d'enfants de celui-ci et conditionné par l'évènement A : 'Le nombre d'individus marqués est égal à n'. En utilisant des techniques similaires aux cas classiques, nous avons obtenus la limite en loi de l'arbre conditionné dans le cas critique. La première partie de cette thèse consistera à poursuivre ce travail pour obtenir des résultats dans le cas sous-critique, plus difficile. Nous nous intéresserons dans un second temps à des conditionnements utilisant toujours une autre source d'aléas, cette fois-ci des marches aléatoires. Nous pouvons par exemple considérer une marche aléatoire sur l'arbre, ou bien une marche aléatoire avec branchement aléatoire, et conditionner cette marche à toucher des points 'anormalement' éloignés. Le but est encore d'obtenir la loi limite du couple arbre/marche lorsque la probabilité de l'évènement considéré tend vers 0.

The Galton-Watson process is a toy model for population evolution where every individual reproduces independently of the others with the same given distribution. It is known that in the subcritical case (the average number of offspring is less than 1) and in the critical case (the average number of offspring is exactly 1), the population dies out. recently, several authors are interested in the description of this population (or the associated genealogical tree) when it is abnormally large. From a mathematical point of view, this consists in conditioning the distribution of the tree on some event of the form A(T)=n where A is a functional of the tree T (typically, A(T) is the height of the last surviving generation, or the total number of individuals in the population,...) et to study the limit (in distribution) of the tree when n tends to infinity. In a recent paper with A. Bouaziz and J.F. Delmas, we have considered special events that make use of a supplementary random source. In particular, we added randomly a 'mark' on every individual with a probability that depends on the number of offspring of that individual et we conditioned on the event 'the number of marked individuals is equal to n'. Using similar techniques to the classical framework , we got the limit in distribution of the conditioned tree in the critical case. The first part of the thesis will consist in extending this work to the more involved sub-critical case. In a second time, we will study some conditionings that make use of random walks. For instance, we can consider either random walks on the tree or branching random walks, and conditioning this random walk on reaching abnormally far points. The goal is again to obtain the limiting distribution of the pair tree/random walk as the rpobability of the conditioning event tends to 0.