Dénombrer des marches dans un cône

Enumeration of walks confined to a cone

• Auteur / Autrice : Pierre Bonnet
• Direction : Mireille Bousquet-Mélou, Charlotte Hardouin
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Inscription en doctorat le 26/09/2022
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques et informatique
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire bordelais de recherche en informatique
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Combinatoire et algorithmiques

Mots clés

Mots clés libres

Combinatoire énumérative

Équations fonctionnelles

Séries génératrices

Enumerative combinatorics

Fonctional equations

Generating series

Résumé

La thèse se situe en combinatoire énumérative, c'est-à-dire qu'elle traite de problèmes de dénombrement, et plus précisément de dénombrement de marches confinées dans des cônes. Ces processus codent de nombreux objets discrets et l'évolution de nombreuses structures, par exemple de files d'attente. Le paramètre de dénombrement est bien sûr la longueur de la marche. Durant les 20 dernières années, de gros progrès ont été accomplis dans ce domaine, mais se sont concentrés sur le cas de marches à 'petits' pas (déplacement de 0, +1 ou -1 dans chaque direction) confinées dans un quart de plan. Une étonnante variété d'outils a été mise à contribution pour classifier ces problèmes selon la nature de la suite qui dénombre ces marches, ou de la série génératrice associée. L'objectif de la thèse est d'une part d'explorer ce qui peut être fait au delà : pas plus grands, autres cônes, dimension supérieure ; et d'autre part d'avancer dans l'implémentation de certains résultats théoriques obtenus sur le quart de plan.

The thesis deals with the enumeration of lattice walks, with prescribed steps, confined to a prescribed cones. These objects encode many other discrete objects, and classical processes, in particular in queuing theory. In the past 20 years, many new methods have been developed to solve such problems, but have focussed on walks with 'small' steps (0, +1 or -1) in each direction confined to the positive quadrant, in two dimensions. An amazing variety of tools have been involved to determine, for each collection of allowed steps, the differential/algebraic nature of the generating function that counts these walks according to their length. The main objective of this thesis is to explore what can be done beyond this setting: what about larger steps? what about the 3D positive octant? What about walks that interact with the boundary of the cone?