Théorie des figures d'équilibre pour les rotateurs rapides : des sphéroïdes aux corps tridimensionnels

Theory of equilibrium figures for fast rotators: from spheroids to three-dimensional bodies

• Auteur / Autrice : Clément Staelen
• Direction : Jean-Marc Hure
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Astrophysique, Plasmas, nucléaire
• Date : Inscription en doctorat le 21/09/2022
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale des sciences physiques et de l’ingénieur (Talence, Gironde ; 1995-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Astrophysique de Bordeaux
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Astrochimie Moléculaire et ORigines des systèmes planétaires (AMOR)

Mots clés

Mots clés libres

Gravitation

Fluides

Planètes

Étoiles

Théorie des figures

Gravitation

Fluids

Planets

Stars

Theory of figures

Résumé

Les objets auto-gravitants en rotation, comme les planètes ou les étoiles, sont omniprésents dans l'Univers. La plupart des informations dont nous disposons pour ces corps célestes se résume généralement à des propriétés globales (masse, rayon, vitesse de rotation) ou des propriétés en surface (composition chimique, luminosité, température). Si nous avons également une bonne connaissance de l'intérieur de la Terre et du Soleil, grâce à la sismologie et l'héliosismologie, les autres objets du système solaire ne bénéficient pas de ces techniques observationnelles. Pourtant, cette structure est une connaissance clef, qui donne des indices quant à la formation et l'évolution de ces astres et de leur environnement. Ce travail de thèse s'intéresse donc à développer des outils analytiques et numériques pour étudier l'intérieur d'une masse fluide auto-gravitante en rotation. La difficulté principale d'une telle étude est le calcul du potentiel gravitationnel produit par la masse elle-même. En effet, ce potentiel est central pour déterminer la figure d'équilibre ; il n'est cependant connu analytiquement que pour de rares objets, et difficilement calculable numériquement car l'intégrale triple le définissant est impropre. Dans un premier temps, nous nous intéresserons à chercher des approximations analytiques et semi-analytiques pour des objets axisymétriques et hétérogènes. On s'appuiera sur la théorie des sphéroïdes imbriqués (Huré 2022a,b ; Basillais et Huré 2023), qui suppose que la masse est composée d'un empilement d'ellipsoïdes de révolutions homogènes, pour lesquels le potentiel est connu de manière analytique. Comme montré par Hamy (1889), un tel système ne peut décrire exactement un équilibre que dans des cas précis et peu réalistes ; néanmoins, la théorie des sphéroïdes imbriqués est une bonne approximation pour de nombreux cas. Tout d'abord, nous montrerons qu'il peut exister des cœurs prolates, sans ajout de champ magnétique ou de circulation méridionale : le cœur doit être entouré d'un milieu ambiant en rotation plus rapide. Pour confirmer ces solutions, nous dériverons les équations du Viriel pour des sphéroïdes imbriqués et nous examinerons l'impact de la friction. Ensuite, nous étudierons la limite continue, c'est-à-dire que nous considérerons un nombre de sphéroïdes infinis. Nous verrons que le problème général est approché par une équation intégrodifférentielle reliant le profil d'aplatissement et la masse volumique. En utilisant un algorithme itératif, nous résoudrons cette équation dans le cas de fluides polytropiques. Les rotateurs rapides sont bien reproduits, sauf pour des configurations proches de la rotation critique. Cette approche permet donc de dépasser la limite des faibles rotations qui est couramment utilisée. Nous verrons par ailleurs que l'équation de Clairaut est retrouvée dans cette limite. Dans un second temps, nous irons au-delà de l'hypothèse de symétrie axiale pour considérer des objets triaxiaux. Comme dans la partie précédente, étudierons une masse hétérogène composée de plusieurs couches homogènes. Nous construirons d'abord un code numérique pour résoudre l'équilibre hydrostatique. Le code profite pleinement de l'hypothèse d'homogénéité par morceaux en calculant le potentiel par une somme d'intégrales de surface, dont l'intégrande est finie, ce qui permet un calcul direct et rapide. Nous prolongerons ensuite la théorie des sphéroïdes imbriqués aux ellipsoïdes (dont le potentiel gravitationnel est aussi connu analytiquement). Nous dériverons les équations de l'équilibre approché et nous proposerons une méthode de résolution pour déterminer les densités et les rapports d'axes des ellipsoïdes. On combinera les deux approches pour modéliser des astres triaxiaux : la théorie analytique permettra un balayage rapide de l'espace des paramètres et la méthode numérique permettra de raffiner les résultats. Une application pour déterminer la structure de la planète naine Hauméa sera proposée pour conclure.

Self-gravitating rotating systems, like planets and stars, are everywhere in the Universe. Most information at our disposal on these celestial bodies are generally global properties (mass, radius, rotation rate) or surface properties (chemical composition, luminosity, temperature). If the interior of the Earth and the Sun are well constrained thanks to seismology and helioseismology, the other objects of the Solar System cannot be studied with such observational techniques. However, knowing the internal structure give insights on the formation and the evolution of these bodies and their environment. This PhD thesis is interested in developing analytical and numerical tools to study the interior of a rotating self-gravitating fluid mass. The main difficulty of such a study is the computation of the gravitational potential produced by the mass itself. Indeed, this potential is the key to determine the figure of equilibrium; unfortunately, it is known analytically for a few objects only and the numerical computation is complex due to the improper character of the triple integral by which it is defined. In a first part, we look for analytical and semi-analytical approximations for axisymmetric and heterogeneous objects. We will rely on the theory of Nested Spheroidal Figures of Equilibrium (NSFoE, Huré 2022a,b; Basillais and Huré 2023), which assumes that the mass is composed of a several homogeneous spheroids, whose gravitational potential is known analytically. As shown by Hamy (1889), such a system can only describe exact equilibrium in specific and unrealistic cases; nevertheless, the NSFoE-theory is actually a good approximation for many cases. We show that prolate cores can exist without the addition of magnetic field or southern circulation: the core must be surrounded by faster rotation medium. To confirm these solutions, we will derive the Virial equations for nested spheroids and examine the impact of friction. Then we study the continuous limit, that is to say we will consider an infinite number of spheroids. We will see that the general problem is approached by an integrodifferential equation linking the flattening profile and density. Using an iterative algorithm, we will solve this equation in the case of polytropic fluids. Fast rotators are well reproduced, except for configurations close to critical rotations. This approach then goes beyond the slow rotation limit that is commonly used. We will see that the integrodifferential equation is coherent with Clairaut's equation in this limit. In a second part, we go beyond the axial symmetry hypothesis to consider triaxial objects. As in the previous section, we will study a heterogeneous mass composed of several homogeneous layers. We first construct a numerical code which solves the hydrostatic equilibrium. The code takes full advantage of the piecewise homogeneous hypothesis by calculating the potential with a sum of surface integrals, whose integrand is finite. This allows a direct and fast calculation. We then extend the NSFoE-theory to ellipsoids (whose gravitational potential is also known analytically). We derive the equations of the approximate equilibrium and propose a method for determining the densities and the axis ratios of ellipsoids. Finally, the two approaches are combined to model triaxial bodies: the analytical theory allows a rapid scan of the parameter space and the numerical code is used to refine results. An application to determine the structure of the dwarf planet Haumea will be proposed as a conclusion.