Méthodes numériques préservant l’asymptotique pour des modèles aux moments de la physique des plasmas

Asymptotic preserving numerical methods for moment models of plasma physics

• Auteur / Autrice : Thomas Vigier
• Direction : Luc Mieussens, Julien Mathiaud
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées et calcul scientifique
• Date : Soutenance le 19/12/2024
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques et informatique
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre Lasers Intenses et Applications (Bordeaux ; 1999-....)
• Jury : Président / Présidente : Rodolphe Turpault
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Teddy Pichard, Héloïse Beaugendre, Anaïs Crestetto
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bruno Després, Thomas Rey

Mots clés

Mots clés contrôlés

Volumes finis, Méthodes de

Matière, Théorie cinétique de la

Modèles mathématiques

Fusion nucléaire par confinement inertiel

Mots clés libres

Méthode des volumes finis

Schémas préservant l'asymptotique

Modèles aux moments

Théorie cinétique

UGKS

Finite Volume Method

Asymptotic Preserving Schemes

Moments Models

Kinetic Theory

UGKS

Résumé

Dans le cadre de la recherche pour la production d’énergie par fusion par confinement inertiel, le développement de nouvelles méthodes numériques est primordial. En effet, les simulations permettent non seulement d’affiner la compréhension des phénomènes physiques complexes ayant lieu sous les conditions thermodynamiques extrêmes nécessaires à la fusion, mais aussi d’aider à la conception de nouveaux dispositifs expérimentaux. Au sein des simulations numériques pour la fusion, le calcul du flux de chaleur des électrons est un enjeu central. Du fait des conditions extrêmes de la matière, la théorie usuelle de Spitzer-Härm devient insuffisante pour décrire la conduction thermique. Aussi pour restituer les effets cinétiques à moindre coût, des modèles aux moments à l’échelle mésoscopique sont utilisés à la place pour décrire le comportement des électrons. Ce manuscrit de thèse se concentre sur la résolution numérique de ces modèles aux moments ; tout d’abord dans le cadre simplifié du transport linéaire puis dans celui du transport électronique. La nature multi-échelle de ces modèles complique l’élaboration de schémas numériques, capables de correctement résoudre tous les régimes : pour ce faire, une classe particulière de méthodes, dites préservant l’asymptotique, a émergé. Une des plus récentes et des plus prometteuses est l’Unified Gas Kinetic Scheme (UGKS) : ce schéma volumes finis pour les équations cinétiques de type relaxation s’appuie sur la solution intégrale obtenue à partir de la méthode des caractéristiques. Dans ce manuscrit, une méthode est proposée pour obtenir des schémas cinétiques préservant l’asymptotique pour des modèles aux moments à partir d’UGKS. L’idée principale introduite est d’appliquer une fermeture à l’échelle numérique dans les flux d’UGKS. Dans les deux cas d’application étudiés, cette nouvelle méthode se révèle particulièrement performante et la poursuite de son développement semble pertinent dans l’objectif de résoudre des modèles physiques plus complexes. De plus, son caractère générique et sa flexibilité en font une alternative intéressante aux schémas usuels préservant l’asymptotique. Des premiers résultats de stabilité sont notamment démontrés sur ce nouveau schéma et une extension sur maillage non structuré est proposée.

As part of the research on energy production through inertial confinement fusion, the development of new numerical methods is crucial. Indeed, simulations not only allow to refine the understanding of complex physical phenomena occurring under the extreme thermodynamic conditions necessary for fusion but also permit to assist in the design of new experimental devices. Within numerical simulations for fusion, the calculation of the electron heat flux is a central issue. Due to the extreme conditions of matter, the conventional Spitzer-Härm theory becomes insufficient to describe thermal conduction. Thus, to capture kinetic effects at a lower computational cost, moment models at the mesoscopic scale are used instead to describe the electron behaviour. This thesis manuscript focuses on the numerical resolution of these moment models, first in the simplified framework of linear transport and then in the context of electronic transport. The multi-scale nature of these models complicates the development of numerical schemes, which must accurately resolve all regimes : to do this, a particular class of methods, known as asymptoticpreserving methods, has emerged. One of the most recent and promising one is the Unified Gas Kinetic Scheme (UGKS) : this finite volume scheme for relaxation-type kinetic equations relies on the integral solution obtained from the method of characteristics. In this manuscript, a method is proposed to derive asymptotic-preserving kinetic schemes for moment models based on UGKS. The main idea which is introduced is to apply a closure at the numerical scale in the UGKS fluxes. In the two studied application cases, this new method reveals to be particularly effective and continuing its development seems relevant in order to solve more complex physical models. Moreover, its generic nature and flexibility make it a pertinent alternative to conventional asymptotic-preserving schemes. Moreover, some stability results are also demonstrated for this new scheme, and an extension to unstructured meshes is proposed.