Approches Galerkin Discontinues spatio-temporelles sur des mailles hiérarchiques pour les équations de Navier-Stokes incompressibles

Space-time Discontinous Galerkin approaches on hierarchical meshes for the incompressible Navier-Stokes equations

• Auteur / Autrice : Alexis Tardieu
• Direction : Angelo Iollo, Afaf Bouharguane
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées et calcul scientifique
• Date : Inscription en doctorat le 21/09/2021
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Calcul Scientifique et Modélisation

Mots clés

Mots clés libres

Octree

Dg

Navier-Stokes

Résumé

De nombreuses applications, comme par exemple les écoulements de fluides multiphasiques incompressibles ou la conduction thermique dans des matériaux non homogènes, sont caractérisées par des paramètres physiques variant fortement à travers les interfaces internes. Dans les approches classiques, ces interfaces sont traitées comme des frontières internes en utilisant des mailles ajustées aux interfaces. Ces méthodes sont précises et peuvent conduire à des schémas de discrétisation simples des conditions d'interface. Cependant, la génération et la manipulation de la grille peuvent être coûteuses et fastidieuses lorsque la géométrie de l'interface évolue dans le temps. De plus, la solution en parallèle nécessite généralement un partitionnement de la grille en fonction du temps qui induit des coûts de calcul supplémentaires. Nous avons l'intention de développer de nouveaux schémas sur des mailles hiérarchiques non-conformes pour discrétiser la solution. La nature hiérarchique de la grille rend la génération de mailles, l'adaptabilité et le partitionnement très efficaces et avec une faible empreinte mémoire. De plus, la précision locale est facilement obtenue grâce à l'adaptabilité de la grille. Pendant les travaux de doctorat d'Alice Raeli [1], Claire Taymans [2] et Antoine Fondanèche [3], des schémas en différences finies et en volumes finis sur octrees ont été développés pour des problèmes de chaleur, de fluide et d'interaction fluide-structure. Ces approches se sont avérées fiables et efficaces, mais étant donné les contraintes des schémas massivement parallèles, la précision était limitée à l'ordre 2. Plus récemment, une autre thèse de doctorat consacrée au sujet, celle de Michele Giuliano Carlino [4], a étendu une approche ADER (voir [4] pour la bibliographie) sur des grilles conformes à des mailles Chimera. Cette approche permet une discrétisation d'ordre supérieur grâce à une structure polynomiale de la solution dans la phase de prédiction. Ensuite, une étape de correction assurant la stabilité est effectuée à travers les flux à l'interface des cellules. Globalement, la méthode est proche d'une approche Galerkin discontinue sur une dalle spatio-temporelle [5]. L'objectif de cette proposition de thèse est double. D'une part, nous avons l'intention d'étendre les schémas ADER-DG aux octrees pour les équations de Navier-Stokes et d'autre part, en nous appuyant sur les travaux de M.G. Carlino, nous prévoyons d'appliquer le schéma ADER-DG octree aux mailles Chimera pour des simulations réalistes. Enfin, l'adaptabilité du maillage sera explorée, grâce à des estimateurs d'erreur quantitatifs appropriés. [1]https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-02005700 [2] https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01934807v1 [3] http://antoine-fondaneche.e-monsite.com/pages/fluid-structure-interaction/incompressible-fluid-flows.html [4] https://hal.inria.fr/hal-03119830 [5] Gassner G, Dumbser M, Hindenlang F, Munz CD. Explicit one–step time discretizations for discontinuous Galerkin and finite volume schemes based on local predictors. J Comput Phys. (2011) 230:4232–47. doi: 10.1016/j.jcp.2010.10.024

Many applications like for example incompressible multi-phase fluid flows or heat conduction in non-homogeneous materials are characterized by strongly varying physical parameters across internal interfaces. In classical approaches these interfaces are treated like internal boundaries using interface fitted meshes. These methods are accurate and can lead to simple discretization schemes of the interface conditions. However, grid generation and handling can be costly and cumbersome when the interface geometry is evolving in time. Furthermore, solution in parallel typically requires time-dependent partitioning of the grid that induces additional computational costs. We intend to develop new schemes on non-conforming hierarchical meshes to discretize the solution. The hierarchical nature of the grid makes mesh generation, adaptivity and partitioning very efficient and with a low-memory footprint. Moreover, local accuracy is easily obtained thanks to grid adaptivity. During the PhD works of Alice Raeli [1] and Claire Taymans [2] and Antoine Fondanèche [3] finite-difference and finite-volume schemes on octrees were developed for heat, fluid and fluid-structure interaction problems. The approaches proved reliable and efficient but given the constraints of massively parallel schemes, accuracy was limited to order 2. More recently, another PhD thesis dedicated to the subject, Michele Giuliano Carlino [4], has extended an ADER approach (see [4] for bibliography) on conforming grids to Chimera meshes. This approach allows a higher-order discretization thanks to a polynomial structure of the solution in the predictor phase. Then, a correction step ensuring stability is carried out through cell interface fluxes. Overall, the method is a close to a discontinuous Galerkin approach over a space-time slab [5]. The objective of this PhD proposal is twofold. On the one hand we intend to extend ADER-DG schemes to octrees for Navier-Stokes equations and on the other hand, building on the work of M.G. Carlino, we plan to apply the octree ADER-DG scheme to Chimera meshes for realistic simulations. Finally, mesh adaptivity will be explored, thanks to appropriate quantitative error estimators. [1]https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-02005700 [2] https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01934807v1 [3] http://antoine-fondaneche.e-monsite.com/pages/fluid-structure-interaction/incompressible-fluid-flows.html [4] https://hal.inria.fr/hal-03119830 [5] Gassner G, Dumbser M, Hindenlang F, Munz CD. Explicit one–step time discretizations for discontinuous Galerkin and finite volume schemes based on local predictors. J Comput Phys. (2011) 230:4232–47. doi: 10.1016/j.jcp.2010.10.024