Conception de systèmes cryptographiques utilisant des groupes de classes de corps quadratiques

Design of cryptographic schemes using class groups of quadratic field

• Auteur / Autrice : Agathe Beaugrand
• Direction : Guilhem Castagnos, Fabien Laguillaumie
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques Pures
• Date : Inscription en doctorat le 10/09/2021
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques et informatique
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Théorie des nombres

Mots clés

Mots clés libres

Corps quadratiques

Cryptographie

Groupe de classes

Cryptography

Class group

Quadratic Fields

Résumé

La cryptographie utilisant des groupes de classes de corps quadratiques trouve son origine à la fin des années 80 avec un protocole d'échange de clefs à la Diffie-Hellman dû à Buchmann et Williams. Ce domaine, tombé en désuétude au début des années 2000, connait un fort regain d'intérêt depuis une dizaine d'années, grâce à la difficulté du calcul de l'ordre de ces groupes. De façon surprenante, cette spécificité a permis de concevoir des outils cryptographiques adaptés aux applications modernes. D'une part ces groupes permettent de construire des schémas cryptographiques dont la phase d'initialisation ne doit pas être exécutée par un tiers de confiance, ceci est particulièrement utile dans un contexte décentralisé (accumulateurs, fonctions à délais vérifiables, arguments de connaissance non interactifs succincts). D'autre part, ces groupes nous ont permis de créer un système de chiffrement linéairement homomorphe modulo un nombre premier p, c'est-à-dire permettant le calcul sur des données chiffrées de fonctions linéaires sur F_p. Ces dernières années, grâce à lui, nous avons proposé de nouvelles approches et de nouvelles solutions pour de nombreuses applications (chiffrement fonctionnel, calcul multipartite sécurisé). L'objectif de cette thèse est de contribuer au développement de la cryptographie utilisant des groupes de classes de corps quadratiques, notamment en développant la polyvalence de ce système de chiffrement et en proposant de nouvelles applications.

Cryptography using class groups of quadratic fields originates in the late 80s with a Diffie-Hellman key exchange protocol due to Buchmann and Williams. This area, fallen into obsolete in the early 2000s, is experiencing a strong resurgence of interest for ten years, thanks to the difficulty of calculating the order of these groups. Surprisingly, this specificity has made it possible to design cryptographic tools adapted to modern applications. On the one hand, these groups make it possible to construct cryptographic schemes whose setup phase must not be performed by a trusted third party, this is particularly useful in a decentralized context (accumulators, verifiable delay functions, succinct non interactive knowledge arguments). On the other hand, these groups allowed us to create a linearly homomorphic encryption scheme modulo a prime number p, that is to say, allowing the calculation over encrypted data of linear functions on F_p. In recent years, thanks to this scheme, we have proposed new approaches and new solutions for many applications (functional encryption, secure multiparty computation). The objective of this thesis is to contribute to the development of cryptography using groups of quadratic field classes, in particular by developing the versatility of this encryption scheme and by offering new applications.