Homotopie des espaces de modules opéradiques

Homotopy of operadic moduli spaces

• Auteur / Autrice : Marvin Verstraete
• Direction : Benoît Fresse
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2022
• Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : MADIS Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé

Mots clés

Mots clés libres

Opérades

Homotopie

Topologie algébrique

Déformations

Operads

Homotopy

Algebraic topology

Deformations

Résumé

Le projet proposé pour cette thèse sera d'étudier l'homotopie d'espaces de modules associés à des morphismes d'opérades en vue d'applications en topologie algébrique. Les opérades sont des objets qui servent à modéliser des collections d'opérations. La notion d'opérade a été introduite en topologie pour l'étude des espaces de lacets. Les opérades sont maintenant utilisées dans de nombreux domaines des mathématiques comme un outil effectif pour gérer des structures algébriques multiples dans une variété de contextes. Les espaces de modules considérés dans ce projet de thèse permettent de comprendre l'ensemble des déformations à homotopie près de morphismes. Un problème naturel est de classifier ces déformations à isomorphisme près et de comprendre les automorphismes (= symétries) associés à une déformation donnée. Les espaces de modules visent à donner une méthode pour répondre à de telles questions en identifiant l'ensemble des classes d'isomorphisme de déformations comme l'ensemble des composantes connexes d'un espace topologique. On peut aussi voir que le type d'homotopie de l'espace des modules reflète des informations fines sur la catégorie des déformations considérées, par exemple le groupe fondamental de cet espace code des classes d'automorphismes associés à une déformation donnée. Les recherches proposées pour cette thèse viseront à développer de nouvelles méthodes pour définir des généralisations de modèles de l'homotopie rationnelle pour étudier le type d'homotopie p-complet (reflétant les informations de torsion) de ces espaces de modules opéradiques.

The proposed subject for this thesis will be to study the homotopy of moduli spaces associated to operads morphisms in view towards applications in algebraic topology. Operads are objects used to model collections of operations. The notion of an operad has been introduced in topology for the study of loop spaces. Operads are now used in many domains of mathematics as an effective tool to deal with multiple algebraic structures in a variety of contexts. The moduli spaces considered in this thesis give a way to understand the set of deformations of morphisms up to homotopy. A natural problem is to classify these deformations up to isomorphism and to understand the automorphisms (= the symmetries) associated to a given deformation. Moduli spaces give a method to answer to such questions by identifying the set of isomorphisms classes of deformations with the set of connected component of a topological space. The homotopy type of the moduli space also gives fine information on the category of the considered deformations - for instance the fundamental group of that space encodes the classes of automorphisms associated to a deformation. The research proposed for this thesis will aim at developing new methods to define generalizations of models of the rational homotopy theory in order to study the p-complete homotopy type (which reflects the torsion information) of these operadic moduli spaces.