Algèbres vertex des opérateurs différentiels chiraux sur un groupe réductif et théorie des représentations

Vertex algebras of chiral differential operators on a reductive group and representation theory

• Auteur / Autrice : Damien Simon
• Direction : Anne Moreau
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2022
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Arithmétique et géométrie algébrique
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Faculté des sciences d'Orsay

Mots clés

Mots clés libres

Algèbres vertex

Opérateurs différentiels chiraux

Théorie des représentations

Groupe réductif

Vertex algebras

Chiral differential operators

Representation theory

Reductive group

Résumé

Soit $G$ un groupe réductif. L'algèbre vertex $mathcal{D}^{ch}_{G,k}$ des opérateurs différentiels chiraux sur $G$ de niveau $kin mathbb{C}$ est un cas particulier d'opérateurs différentiels chiraux sur une variété algébrique lisse. C'est une affinisation naturelle de l'algèbre des opérateurs différentiels sur $G$ et une quantification naturelle de l'algèbre des sections globales sur l'espace d'arc du fibré cotangent $T^{*}G$. En effet, c'est une quantification chirale de $T^{*}G$ au sens où le schéma associé est $T^{*}G$. L'algèbre vertex $mathcal{D}^{ch}_{G,k}$ joue un rôle important dans le programme de Langlands géométrique et dans la dualité 4D/2D en physique. Plus généralement, c'est un objet intéressant en théorie des représentations. L'une des raisons est un résultat d'Arkhipov-Gaitsgory établissant que la catégorie $mathcal{D}^{ch}_{G,k}$-Mod des $mathcal{D}^{ch}_{G,k}$-modules (comme modules d'algèbres vertex) est la même que la catégorie $D{rm -Mod}_{G((t)),k}$ des $D$-modules $k$-tordus sur $G((t))$, où $G((t))$ est l'espace des lacets de $G$. En particulier, la catégorie $($mathcal{D}^{ch}_{G,k}$-Mod)^{G[[t]]}$ des $mathcal{D}^{ch}_{G,k}$-modules $G[[t]]$-invariant à droite est équivalente à la catégorie $D{rm -Mod}_{Gr,k}$ des $D$-modules sur la Grassmannienne affine $Gr = G((t))/G[[t]]$. Il est connu que les catégories $D{rm -Mod}_{Gr,k}$ sont toutes équivalentes pour $kin mathbb{Z}$. D'un autre côté, par la correspondance de Satake géométrique, pour $kin mathbb{Z}$, la catégorie $D{rm -Mod}_{Gr,k}^{G[[t]]}$ des D-modules $G[[t]]$-invariants sur la Grassmannienne affine est equivalente à la categorie $Rep(check{G})$ des représentations du dual de Langlands $check{G}$ de $G$. Ainsi, pour $k in mathbb{Z}$, la catégorie $(mathcal{D}_{G,k}^{ch}-Mod)^{G[[t]] times G[[t]]}$ des $mathcal{D}_{G,k}^{ch}$-modules $G[[t]]times G[[t]]$-invariant est equivalente à la catégorie $Rep(check{G})$. L'objectif de la thèse est de comprendre la dernière équivalence ''directement'' sans avoir recours à la Grassmannienne affine et la correspondance de Satake. Nous comptons d'abord étudier le cas où $G$ est un tore algébrique. On espère aussi être en mesure de décrire explicitement les objets simples de $mathcal{D}_{G,k}^{ch}$-Mod, for $k in mathbb{Z}$. Il serait aussi intéressant de considérer le cas générique, lorsque $k notin matbb{Z}$. Quelques parties de ce projet ont déjà été initiées dans notre livre '' Arc spaces and vertex algebras '' (en préparation), en collaboration avec Tomoyuki Arakawa.

Let $G$ be a reductive group. The vertex algebra $mathcal{D}^{ch}_{G,k}$ of chiral differential operators on $G$ at level $kin mathbb{C}$ is a special case of the chiral differential operators on a smooth algebraic variety. It is a natural affinization of the algebra of differential operators on $G$ and a natural quantization of the algebra of global sections on the arc space of the cotangent bundle $T^{*}G$. In fact, it is a chiral quantization of $T^{*}G$ in the sense that its associated scheme is $T^{*}G$. The vertex algebra $mathcal{D}^{ch}_{G,k}$ plays an important role in the geometric Langlands program and in the 4D/2D duality in physics. More generally, it is an important object in representation theory. One of the reasons is a result of Arkhipov-Gaitsgory establishing that the category $mathcal{D}^{ch}_{G,k}$-Mod of $mathcal{D}^{ch}_{G,k}$-modules (as vertex algebras modules) is the same as the category $D{rm -Mod}_{G((t)),k}$ of $k$-twisted $D$-modules on $G((t))$, where $G((t))$ is the loop space on $G$. In particular, the category $($mathcal{D}^{ch}_{G,k}$-Mod)^{G[[t]]}$ of right $G[[t]]$-equivariant $mathcal{D}^{ch}_{G,k}$-modules is equivalent to the category $D{rm -Mod}_{Gr,k}$ of $D$-modules on the affine Grassmannian $Gr = G((t))/G[[t]]$. It is known that the categories $D{rm -Mod}_{Gr,k}$ are all equivalent for $kin mathbb{Z}$. On the other hand, by the geometric Satake correspondance, for $kin mathbb{Z}$, the category $D{rm -Mod}_{Gr,k}^{G[[t]]}$ of $G[[t]]$-equivariant D-modules on the affine Grassmannian is equivalent to the category $Rep(check{G})$ of representations of the Langlands dual group $check{G}$ of $G$. Therefore, for $k in mathbb{Z}$, the category $(mathcal{D}_{G,k}^{ch}-Mod)^{G[[t]] times G[[t]]}$ of $G[[t]]times G[[t]]$-equivariant $mathcal{D}_{G,k}^{ch}$-modules is equivalent to the category $Rep(check{G})$. The objective of the thesis is to understand the last equivalence ''directly'' without using the affine Grassmannian and the Satake correspondence. We plan to first study the case where $G$ is an algebraic torus. We also hope to be able to describe explicitly the simple objects of $mathcal{D}_{G,k}^{ch}$-Mod, for $kin mathbb{Z}$. It will be also interesting to consider the generic case, when $k notin mathbb{Z}$. Some parts of this project has been already initiated in our book ''Arc spaces and vertex algebras'' (still in preparation), joint with Tomoyuki Arakawa.