Les équations des mouvements de foules : nouveaux résultats, nouvelles approches numériques, nouveaux modèles

Crowd motion equations : new results, new numerical approaches, new models

• Auteur / Autrice : Nicolas Masson
• Direction : Bertrand Maury, Filippo Santambrogio
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2022
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Analyse numérique et équations aux dérivées partielles
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Faculté des sciences d'Orsay

Mots clés

Mots clés libres

Foules

Transport optimal

EDP sous contrainte

Crowds

Optimal transport

PDE under constraint

Résumé

Il y a une dizaine d'années, les encadrants ont proposé un modèle de dynamique des populations se traduisant par un système d'EDPs sous contraintes, dont la structure a été identifiée comme un flot de gradient dans l'espace de Wasserstein. Si la méthode JKO a déjà permis non seulement de montrer l'existence d'une solution, mais aussi d'inspirer des méthodes numériques, certains points restent néanmoins en suspens ; il semblerait que de récents développements permettent d'aborder ces questions autrefois inaccessibles. L'enjeu de la thèse sera donc d'explorer ces nouvelles possibilités selon trois angles : numérique, pour étudier précisément les conditions de convergence des schémas, théorique, pour établir des estimées utiles, et enfin modélisation, afin d'intégrer des phénomènes plus fins.

A few years ago, my supervisors proposed a model of crowd motion, yielding a system of PDEs under constraint whose structure has been identified as a gradient flow in Wasserstein space. The JKO approach has already allowed to prove the existence of a solution, but also to inspire numerical schemes. However, some aspects are still to be investigated, and it seems that some recent developments will allow us to address some issues that remained unsolved. Therefore, the aims of this thesis will be threefold : first numerical, with the precise study of the convergence of several schemes, then theoretical, by proving useful estimates, before addressing the modelling aspect, by improving the model in order to capture finer phenomena. 2