Thèse en cours

Aspects combinatoires de modèles de tenseurs aléatoires

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Auteur / Autrice : Thomas Muller
Direction : Adrian Tanasa
Type : Projet de thèse
Discipline(s) : Informatique
Date : Inscription en doctorat le 13/09/2022
Etablissement(s) : Bordeaux
Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : LaBRI - Laboratoire Bordelais de Recherche en Informatique
Equipe de recherche : Combinatoire et algorithmiques

Résumé

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Les modèles matriciels (voir les rapports [1] ou le livre de B. Eynard [2]) sont des modèles de la théorie quantique des champs (QFT) où les champs ne sont pas des scalaires ou des vecteurs, mais des matrices à N dimensions. Les modèles matriciels ont été reliés avec succès à la gravité quantique 2D et à divers domaines de la physique, comme la théorie des cordes (puisqu'ils sont liés à la théorie des cordes à 0 dimension, une théorie pure des surfaces sans couplage avec la matière). De plus, les modèles matriciels ont aujourd'hui diverses applications en mathématiques (probabilités non-commutatives, combinatoire, etc.). Lors de l'étude des propriétés QFT des modèles matriciels, certains des outils les plus importants développés par les physiciens sont l'expansion à grand N et la limite de double échelle, dont il a été prouvé qu'elle est liée à la limite continue du modèle respectif. Les modèles tensoriels (voir les livres [3] et [4] ou les conférences TASI [5]) ont été introduits comme une généralisation QFT naturelle des modèles matriciels en dimension 3 ou plus, afin de reproduire les divers succès des modèles matriciels. Plusieurs modèles tensoriels ont été récemment étudiés et la limite du grand N et la limite de la double échelle ont été mises en œuvre, en utilisant des méthodes QFT (comme la méthode des champs intermédiaires) ou des méthodes combinatoires (basées sur l'analyse diagrammatique du terme général dans l'expansion du grand N) - voir à nouveau les livres [3] et [4] ou les articles de synthèse [6]. Un tel modèle tensoriel est un modèle tensoriel de rang 3 avec invariance O(N)³ et interaction sexuée, récemment proposé par S. Giombi et. al. [7]. Initialement, indépendamment de l'étude des modèles tensoriels, un modèle de N fermions en 0+1 dimensions a été proposé par Sachdev et Ye [8] et a reçu une attention considérable. Dans le contexte de la physique de la matière condensée, ce modèle a été analysé dans divers articles, comme celui de Parcollet et Georges [9], qui ont calculé la fonction 2 points de ce modèle dans la limite du grand N. Une variante de ce modèle a ensuite été proposée dans le cadre de l'étude des modèles tensoriels. Une variante de ce modèle a ensuite été proposée par Kitaev comme modèle jouet de l'holograpĥie [10]. Depuis lors, ce modèle Sachdev-Ye-Kitaev (SYK) a suscité un énorme intérêt au sein de la communauté AdS/CFT. Ainsi, Maldacena et Stanford ont étudié en détail les fonctions à 2 et 4 points du modèle [11], Polchinski et Rosenhaus ont résolu l'équation de Schwinger-Dyson et calculé le spectre des états à deux particules [12], etc. Peu après, Witten a proposé une modification du modèle SYK, en utilisant des champs tensoriels [13]. Cela vient du fait que le modèle SYK et les modèles tensoriels ont tous deux la même structure de l'équation de Dyson-Schwinger et sont dominés dans la grande limite N par le même type de graphes. La proposition de Witten a ainsi ouvert la voie à diverses études des modèles tensoriels de type SYK, où les outils combinatoires des modèles tensoriels ont été appliqués pour étudier les propriétés de plusieurs modèles de type SYK (voir par exemple [14]). Le doctorat propose donc d'étudier les propriétés combinatoires et la limite de double échelle du modèle tensoriel proposé par S. Giombi et. al. Dans [7] ainsi que pour d'autres modèles tensoriels recemment proposés dans la literature. Ces modèles proposent plusieurs types d'interactions invariantes, plusieurs types de méthodes peuvent être utilisées pour atteindre cet objectif. Ainsi, on peut utiliser des méthodes QFT telles que la méthode des champs intermédiaires, ou des méthodes purement combinatoires (étude du terme général dans l'expansion à grand N du modèle). Le doctorat est destiné à un étudiant de Master très motivé ayant une bonne expérience en combinatoire et en physique mathématique. Le doctorat sera financé par le projet ANR 3DMaps. [1] Ph. Di Francesco et. al., Phys. Rept. (1995), hep-th/9306153, V. Kazakov, Proc. Cargèse workshop (1990), F. David, Lectures Les Houches Summer School, Ph. Di Francesco, “2D quantum gravity, matrix models and combinatorics”, arXiv:0406013 [math-ph]. [2] B. Eynard “Counting Surfaces”, Birkhauser (2016). [3] R. Gurau, “Random Tensors”, Oxford Univ. Press (2016). [4] A. Tanasa, “Combinatorial Physics”, Oxford Univ. Press (2021). [5] I. Klebanov, F. Popov and G. Tarnopolsky, TASI Lectures on Large N Tensor Models, arXiv:1808.09434[hep-th]. [6] R. Gurau, “Invitation to Random Tensors”, arXiv:1609.06439[hep-th], A. Tanasa, “The multi-orientable tensor model, a review”, arXiv:1512.02087 [hep-th]. [7] S. Giombi, I. Klebanov, F. Popov, S. Prakash and G. Tarnopolsky, ``Prismatic Large $N$ Models for Bosonic Tensors,'' Phys. Rev. D 98, no.10, 105005 (2018), [arXiv:1808.04344 [hep-th]]. [8] Sachdev and Ye, cond-mat/9212030, Phys. Rev. Lett. 70 (1993) 3339. [9] Parcollet and Georges, cond-mat/9806119, Phys. Rev. B 59 (1999), 5341-5360. [10] Kitaev, http://online.kitp.ucsb.edu/online/entangled15/kitaev/ (talk at KITP). [11] Maldacena and Stanford, arXiv:1604.07818[hep-th], Phys. Rev. D 94 (2016) 106002. [12] Polchinksi and Rosenhaus, arXiv:1601.06768[hep-th], JHEP 1604 (2016) 001. [13] Witten, arXiv:1610.09758[hep-th]. [14] I. Klebanov, P. Pallegar and F. Popov, ``Majorana Fermion Quantum Mechanics for Higher Rank Tensors,'' Phys. Rev. D 100, no.8, 086003 (2019) [arXiv:1905.06264 [hep-th]]. J. Kim, I. Klebanov, G. Tarnopolsky and W. Zhao, ``Symmetry Breaking in Coupled SYK or Tensor Models,'' Phys. Rev. X 9, no.2, 021043 (2019) [arXiv:1902.02287 [hep-th]]. I. Klebanov, A. Milekhin, F. Popov and G. Tarnopolsky, ``Spectra of eigenstates in fermionic tensor quantum mechanics,'' Phys. Rev. D 97, no.10, 106023 (2018) . T. Krajewski, M. Laudonio, R. Pascalie and A. Tanasa, ``Non-Gaussian disorder average in the Sachdev-Ye-Kitaev model,'' Phys. Rev. D 99, no.12, 126014 (2019) [arXiv:1812.03008 [hep-th]].