Coût de la contrôlabilité des équations linéarisées de la mécanique des fluides.

Cost of controllability of the linearized equations of fluid mechanics

• Auteur / Autrice : Vincent Laheurte
• Direction : Franck Sueur
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées et calcul scientifique
• Date : Inscription en doctorat le 12/09/2022
• Etablissement(s) : Bordeaux
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : IMB - Institut de Mathématiques de Bordeaux
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : EDP et Physique Mathématique

Mots clés

Mots clés libres

Equations différentielles hyperboliques

Contrôlabilité

Observabilité

Mécanique des fluides

Hyperbolic differential equations

Controllability

Observability

Fluid Mechanics

Résumé

Le sujet de thèse proposé porte sur la question du coût de la contrôlabilité des équations linéarisées issues de la mécanique des fluides. Plus précisément, on s'intéresse à la question de mesurer quantitativement la force nécessaire pour faire évoluer les systèmes d'évolutions régissant la dynamique des fluides d'un état initial donné à un état final lui aussi prescit. Les forces peuvent être distribuées dans le domaine ou localisées sur une partie du bord; et les systèmes considérés sont ceux d'Euler et de Navier-Stokes, dans leurs versions compressibles et incompressibles, et des classes de systèmes reliés, comme les systèmes hyperboliques et leurs perturbations faiblement paraboliques. Dans le cas où ces équations sont considérées au niveau linéaire, en considérant leur linéarisées autour d'états pertinents, la notion de coût de contrôlabilité est bien formalisée, et très largement étudiée pour les équations de la chaleur et celles des ondes, avec différentes méthodes, notamment celles liées à l'optique géométrique et aux inégalités de Carleman. L'objectif de la thèse est d'étendre cette connaissance aux équations de la mécanique des fluides en exploitant les spécificités de ces systèmes, notamment les aspects de transport et de dissipation.

We study the cost of controllability of linearized equations coming from fluid mechanics. More precisely, we aim at studying quantitatively the force required to drive an evolution system describing the fluid mechanics, from a given initial state to a pre-determined ''target'' final state. The force can be distributed on the whole domain, or applied on a portion of the boundary; and the systems considered are the Euler and Navier-Stokes equations, in both their compressible and incompressible versions, and classes of related systems, such as hyperbolic systems and their weakly parabolic perturbations. In the case where those equations are studied in the linear context, by considering their linearized form around relevant states, the notion of controllability cost is well formalized, and was studied in-depth for the heat and wave equations, with different methods, notably optic geometry and Carleman inequalities. The aim of the thesis is to extend this knowledge to equations of fluid mechanics, by investigating the specificities of those systems, namely the transport and the damping.