Propriétés qualitatives et aspects géométriques de solutions d'équations aux dérivées partielles non linéaires dans des domaines non bornés

Qualitative properties and geometric aspects of solutions to nonlinear partial differential equations in unbounded domains

• Auteur / Autrice : Nicolas Beuvin
• Direction : Alberto Farina
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2022; Soutenance le 07/11/2025
• Etablissement(s) : Amiens
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences, technologie et santé (Amiens)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire amiénois de mathématique fondamentale et appliquée (Amiens ; 1995-....)

Mots clés

Mots clés libres

Propriétés qualitatives et classification des solutions

Equations aux Dérivées Partielles (EDP)

Régularité

Comportement à l'infini

Partial differential Equations (PDE)

Qualitative properties and classification of solutions

Regularity

Infinite behavior

Résumé

Il s'agit de l'étude qualitative et de la classification des solutions d'équations aux dérivées partielles non linéaires de type elliptique posées sur des domaines non bornés comme l'espace euclidien tout entier, le demi-espace ou, plus généralement, les épigraphes. Pour ces types de domaines on se propose d'étudier les propriétés qualitatives des solutions positives ou stables (ou encore d'indice de Morse fini) et d'en démontrer des résultats de classification et de rigidité géométrique (monotonie, symétrie radiale, symétrie unidimensionnelle,...) ainsi que leur régularité et leur comportement à l'infini. L'analyse se fera par une approche récente ([6],[8]) qui permet d'obtenir des informations précises sur la géométrie des lignes de niveau des solutions considérées, ainsi que par l'utilisation d'outils plus classiques comme la célèbre méthode des hyperplans mobiles due à James Serrin [10].

The thesis project is devoted to study the qualitative properties and to the classification of the solutions to nonlinear partial differential equations of elliptic type on unbounded domains such as the entire Euclidean space, the half-space or, more generally, the epigraphs. For these types of domains, we plan to study the qualitative properties of positive or stable solutions (or of finite Morse index) and to demonstrate some results of classification and geometric rigidity (monotonicity, radial symmetry, one-dimensional symmetry ,...) as well as their regularity and their behavior at infinity. The analysis will be carried out using a recent approach ([6],[8]) which allows to obtain precise information on the geometry of the level sets of the considered solutions, as well as by the use of more classical tools such as the celebrated moving planes method due to James Serrin [10].