Optimisation de méthodes de Trefftz et quasi-Trefftz pour la résolution itérative de problèmes de propagation d'onde en régime harmonique

Optimisation of Trefftz and quasi-Trefftz methods for the iterative solution of time-harmonic wave propagation problems

• Auteur / Autrice : Matthias Rivet
• Direction : Sébastien Tordeux, Sébastien Pernet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 10/12/2025
• Etablissement(s) : Pau
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale sciences exactes et leurs applications (Pau, Pyrénées Atlantiques ; 1995-)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques et de leurs applications (Pau)
• Jury : Président / Présidente : Hélène Barucq
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sébastien Tordeux, Sébastien Pernet, Bruno Després, Gwénaël Gabard, Lise-Marie Imbert-Gérard, Martin Gander
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bruno Després, Gwénaël Gabard
• DOI : 10.70675/e43157e2zcdaez4dceza967z03aed8a7e4c9

Mots clés

Mots clés contrôlés

Ondes -- Propagation

Méthodes de Galerkine

Harmoniques (ondes électriques)

Mots clés libres

Méthodes de Trefftz et quasi-Trefftz

Propagation d'onde

Méthode de décomposition de domaines

Flux Reconstruction

Intelligence Artificielle

Opérateurs de transmission

Trefftz and quasi-Trefftz methods

Wave propagation

Domain decomposition method

Flux Reconstruction

Artificial Intelligence

Transmission operators

Résumé

La propagation d'ondes électromagnétiques est un phénomène physique à la base de nombreuses applications, tant civiles que militaires, qui mettent désormais en jeu des domaines complexes, hétérogènes et de très grande taille. Ces conditions, associées à des contraintes de précision importantes, forment un cadre exigeant pour la simulation de tels phénomènes. Classiquement, de nombreuses méthodes numériques ont été développées et adaptées à ces problèmes, mais la considération de domaines de propagation étendus mène à la résolution de très grands systèmes linéaires, pour lesquels une approche directe est incompatible avec les problématiques de mémoire. Une résolution itérative doit alors être considérée, mais ces approches n'y sont généralement que peu adaptées.Ainsi, nous nous proposons de considérer une méthode de Trefftz, qui peut être interprétée comme une méthode de Galerkin Discontinue où les fonctions de base sont solutions dans chaque cellule, afin d'aborder cette problématique. Etudiée dans un cadre plus général associé aux systèmes de Friedrichs harmoniques, cette approche vérifie une propriété de coercivité faible, alors qu'un préconditionneur naturel assure le caractère contractant du système associé, rendant cette formulation particulièrement adaptée aux algorithmes itératifs.Cependant, la discrétisation classique de cette méthode par ondes planes pose des problèmes de dépendance numérique, et donc de précision : le premier axe de travail de cette thèse est donc le développement de fonctions de Trefftz naturellement bien conditionnées, caractérisées par des conditions de bord locales impédantes et polynomiales par morceaux. La connaissance des fonctions de base associées n'étant pas possible analytiquement, nous considérons un solveur approché de type Flux Reconstruction adapté, analysé et optimisé pour ces problèmes d'onde harmoniques : la méthode quasi-Trefftz, issue du couplage de ces deux développements, est alors étudiée et calibrée. Cette approche permet ainsi d'assurer une indépendance (des fonctions de base locales) et une convergence robustes, la rendant adaptée au cadre d'application envisagé.Dans un second temps, la convergence itérative de la méthode (nécessaire lors de la considération de grands domaines) peut s'avérer très coûteuse : nous nous proposons donc d'optimiser la méthode de Trefftz de ce point de vue, en limitant le nombre d'itérations GMRES nécessaires à la convergence. Pour cela, en nous inspirant des développements issus de la communauté des méthodes de décomposition de domaines, nous introduisons des opérateurs de transmission dans la définition des traces sortantes, menant à une formulation généralisée. Ces opérateurs sont alors caractérisés pour assurer que les propriétés de la méthode originale sont conservées, et deux méthodologies de choix en sont proposées. La première repose sur l'approximation de l'opérateur Dirichlet-to-Neumann extérieur par des approches analytiques classiques et des réseaux de neurones, entraînés sur des configurations de référence, permettant de gagner jusqu'à 25 % d'itérations. Enfin, l'optimisation directe des opérateurs, au sens d'un critère global, est envisagée : ses résultats prometteurs s'accompagnent néanmoins de difficultés d'application, pour lesquelles des pistes sont proposées.

The propagation of electromagnetic waves is a physical phenomenon with a wide range of civil and military applications, which henceforth call for complex, heterogeneous and wide domains. Coupled to notable accuracy constraints, these conditions constitute a challenging framework for the simulation of such phenomena. Classically, many numerical methods have been developed and adapted to these problems, but the consideration of wide propagation domains leads to the solution of very large linear systems, for which direct methods are incompatible from a memory point of view. Then, an iterative solving must be considered, to which these approaches are usually poorly adapted.Thus, we propose to consider a Trefftz method, which can be interpreted as a Discontinuous Galerkin one with basis functions that are actual solutions in each cell, to deal with this problematic. Being studied in a wider formalism associated to time-harmonic Friedrichs systems, this approach satisfies a weak-coercivity property, while a natural preconditioner ensures the contracting character of the associated system: this formulation is then particularly adapted to iterative algorithms.However, the classic discretisation of this method by plane waves is used to leading to numerical dependence and then accuracy issues: thus, the first work lead of this thesis is the development of well-conditioned Trefftz functions, characterised by local piecewise polynomial impedance boundary conditions. As the analytic knowledge of the associated basis functions is not possible, we resort to a Flux Reconstruction approximate solver, which is adapted, analysed and optimised for these time-harmonic propagation problems: the quasi-Trefftz method, issued from the gathering of these two developments, is then studied and calibrated. This approach allows to ensure robust independence (of the local basis functions) and convergence, making it adapted to the contemplated framework of application.In a second time, the iterative convergence of the method (which is mandatory when dealing with large domains) may turn out to be very computationally expensive: this calls for the optimisation of the Trefftz method from this point of view, by reducing the number of GMRES iterations needed to converge. To do so, we draw inspiration from the Domain Decomposition Methods community and introduce transmission operators in the definition of the outgoing traces, leading to a generalised Trefftz formulation. These operators are then characterised to ensure the conservation of the original method properties, and two choice methodologies are proposed. The first one leans on the approximation of the exterior Dirichlet-to-Neumann operator thanks to classic analytic approaches and neural networks, trained on reference configurations and allowing to gain about 25% of iterations. Finally, the direct operators optimisation is discussed with respect to a global criterion: its promising results are unfortunately accompanied with application difficulties, for which tracks of work are suggested.