Optimisation de flux numériques dans une méthode de décomposition de domaines de type Trefftz pour l'électromagnétisme : approche traditionnelle ou intelligence artificielle ?

Numerical flux optimization in a Trefftz-type domain decomposition method for electromagnetism: traditional approach or artificial intelligence?

• Auteur / Autrice : Matthias Rivet
• Direction : Sébastien Tordeux, Sébastien Pernet
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 29/08/2022
• Etablissement(s) : Pau
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale sciences exactes et leurs applications (Pau, Pyrénées Atlantiques ; 1995-)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications de Pau

Mots clés

Mots clés libres

Méthode de décomposition de domaines

Rayonnement électromagnétique

Intelligence Artificielle

Domain decomposition method

Electromagnetic waves

Artificial Intelligence

Résumé

Dans le cadre du projet Itermaxwell (E2S-UPPA/ONERA) et de la thèse de Margot Sirdey [1, 2, 3], nous développons le nouveau solveur GoTEM3 basé sur une approche de Trefftz. Cette dernière consiste en l'utilisation de fonctions de base qui sont solutions locales ou quasi-solutions des équations de Maxwell. Ce choix permet de contrôler le phénomène de pollution numérique, de limiter le nombre de degrés de liberté et de construire une formulation faible définie uniquement sur le squelette du maillage. De plus, contrairement aux schémas de discrétisation classiques en électromagnétisme, cette méthode est intrinsèquement adaptée à une résolution itérative grâce à des propriétés de contraction intrinsèques et des préconditionneurs naturels. Nous avons ensuite couplé la méthode Trefftz à un solveur algébrique de type Krylov (GMRES) et avons ainsi drastiquement réduit le coût (en mémoire d'un facteur 1000, en temps de calcul et financièrement car cela évite l'utilisation d'un supercalculateur) de résolution de la propagation dans de grands domaines : un environnement de 100 longueurs d'onde peut maintenant être simulé avec seulement 43 Gb de mémoire. Notre objectif est de réussir ce type de résolution sur un ordinateur portable. Pour atteindre cet objectif, ce projet de thèse sera articulé autour des axes de recherche suivants : - Solveur local rapide : dans une méthode (quasi-)Trefftz, la construction des fonctions de base nécessite la résolution dans chaque cellule des équations de Maxwell pour de nombreux seconds membres. Pour cela, différents solveurs peuvent être utilisés : différences finies, éléments finis, Galerkin Discontinu. Dans cette thèse, nous proposons d'étudier l'approche par différences spectrales qui fonctionne extrêmement bien par exemple en Mécanique des Fluides Numérique [4]. Elle consiste en la recherche de la solution des équations fortes sous la forme de polynômes par morceaux en résolvant un problème de Riemann pour les flux à l'interface, rendant cette approche conservative et peu coûteuse. L'objectif est de réaliser la dérivation ainsi que l'analyse théorique et numérique de ce type de méthode pour les équations de Maxwell harmoniques. - Optimisation du transfert d'informations : la méthode de Trefftz est une méthode de décomposition de domaines naturelle qui est fondée sur une approximation des opérateurs de transmission/réflexion pour le transfert d'informations entre les domaines. Ces derniers ont un impact sur le nombre d'itérations nécessaires au solveur itératif pour converger à une certaine précision. Nous souhaitons étudier deux manières d'améliorer la qualité de ces approximations : 1/ une approche classique consistant à utiliser des approximations d'opérateurs de transfert non-locaux basés sur des formulations intégrales 2/ Il semble possible, en autorisant cet opérateur à changer au cours des itérations, d'utiliser des algorithmes d'intelligence artificielle [5] pour obtenir des opérateurs locaux optimaux. - Intégration au solveur GoTEM3 : l'objectif est de mettre en musique les ingrédients développés en parties 1 et 2 en proposant une implémentation robuste et optimisée, ainsi que de mener une fine évaluation des performances de la méthode sur des domaines de calcul complexes (grands et hétérogènes). [1] Margot Sirdey, Méthode de type Trefftz pour la simulation de la propagation électromagnétique à haute fréquence, thèse, 2019-2022. [2] H.S. Fure, S. Pernet, M. Sirdey, S. Tordeux, A discontinuous Galerkin Trefftz type method for solving the two dimensional Maxwell equations.SN Partial Differ. Equ. Appl., 1-25, 4(2020). [3]S. Pernet, M. Sirdey, S. Tordeux, Ultra-weak variational formulation for the heterogeneous Maxwell problem in the context of high performance computing,25 pages,2022. [4] A. Veilleux, G. Puigt, H. Deniau, G. Daviller, Stable Spectral Difference Approach Using Raviart Thomas Elements for 3D Computations on Tetrahedral Grids. Journal of Scientific Computing,91(1), 1-22, (2022). [5] B. Després and H; Jourdren, Machine Learning design of Volume of Fluid schemes for compressible flows, JCP 2020

Within the framework of the IterMaxwell project (E2S-UPPA/ONERA) and the PhD thesis of Margot Sirdey [1,2,3], we are developing the new solver GoTEM3 based on a Trefftz approach. This latter consists in using basis functions which are local solutions or quasi-solutions of Maxwell's equations. This choice allows one to control the numerical pollution phenomena, to limit the number of degrees of freedom and to construct a weak formulation defined only on the mesh skeleton. Moreover, unlike classical discretizations in electromagnetism, this method is intrinsically adapted to an iterative solution thanks to intrinsic contraction properties and natural preconditioners. We then coupled the Trefftz method with an algebraic solver of the Krylov type (GMRES) and thus drastically reduced the cost (in memory by a factor of 1000, in computation time and financially because it avoids the use of a supercomputer) of solving the propagation in large domains: an environment of 100 wavelengths is now simulated with only 43 Gb of memory. Our goal is to achieve this type of resolution with a laptop. In order to achieve this goal, this new PhD project will be articulated around the following research axes: - Fast local solver: In a (quasi-)Trefftz method, the construction of the basis functions requires solving on each cell the Maxwell equations for many right-hand sides. For this purpose, different solvers can be used: finite differences, finite elements, discontinuous Galerkin. In this thesis, we propose to study the spectral difference approach which is very successful for example in computational fluid dynamics [4]. It consists in looking for the solution of the strong equations as piecewise polynomials and in solving a Riemann problem to manage the interface flux, making the approach conservative and inexpensive. The aim is to carry out the derivation as well as the theoretical and numerical analysis of this type of method for time-harmonic Maxwell's equations - Optimization of information transfer: the Trefftz method is a natural domain decomposer which is based on an approximation of the transmission/reflection operators for the information transfer between domains. These latter have an impact on the number of iterations required by the iterative solver to converge to a given accuracy. We plan to study two ways to improve the quality of these approximations: 1/ a classical approach consisting in using approximations of non-local transfer operators based on integral formulations 2/ It seems possible by allowing this operator to change during the iterations, to use artificial intelligence algorithms [5] in order to obtain optimal local operators. - Integration in the GoTEM3 solver: the aim is to put into music the ingredients developed in parts 1 and 2 by proposing a robust and optimized implementation as well as to carry out a fine evaluation of the performances of the method for complex computational domains (large and heterogeneous) [1] Margot Sirdey, Méthode de type Trefftz pour la simulation de la propagation électromagnétique à haute fréquence, thèse, 2019-2022. [2] H.S. Fure, S. Pernet, M. Sirdey, S. Tordeux, A discontinuous Galerkin Trefftz type method for solving the two dimensional Maxwell equations.SN Partial Differ. Equ. Appl., 1-25, 4(2020). [3]S. Pernet, M. Sirdey, S. Tordeux, Ultra-weak variational formulation for the heterogeneous Maxwell problem in the context of high performance computing,25 pages,2022. [4] A. Veilleux, G. Puigt, H. Deniau, G. Daviller, Stable Spectral Difference Approach Using Raviart Thomas Elements for 3D Computations on Tetrahedral Grids. Journal of Scientific Computing,91(1), 1-22, (2022). [5] B. Després and H; Jourdren, Machine Learning design of Volume of Fluid schemes for compressible flows, JCP 2020