Fondements statistiques de l'analyse topologique des données pour les champs aléatoires multidimensionnels

Statistical foundations of topological data analysis for multidimensional random fields

• Auteur / Autrice : Hugo Henneuse
• Direction : Pascal Massart, Frédéric Chazal
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques fondamentales
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2022
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de mathématiques d'Orsay (1998-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Probabilités et statistiques (LMO)
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Faculté des sciences d'Orsay

Mots clés

Mots clés libres

Analyse Topologique des Données

Champs aléatoires

Statistique

Topologie

Homologie persistante

Probabilités

Analyse Topologique des Données

Random fields

Statistics

Topology

Persistent homology

Probability

Résumé

Au cours des dernières décennies, la grande disponibilité des appareils de mesure et des outils de simulation a non seulement conduit à une explosion de la quantité de données disponibles, mais aussi à une augmentation spectaculaire de leur complexité rendant leur analyse de plus en plus difficile. Ce défi a conduit au développement d'une grande variété de nouvelles théories et outils mathématiques parmi lesquels la topologie (algébrique) et la géométrie se sont récemment révélées particulièrement pertinentes. L'étude des propriétés géométriques et topologiques des processus aléatoires et des champs aléatoires est un sujet de longue date qui a conduit à des résultats remarquables au cours des dernières décennies. Plus précisément, l'étude de l'homologie persistante et des propriétés liées à la TDA des champs aléatoires est un sujet d'intérêt pratique beaucoup plus récent. Il attire de plus en plus l'attention ces dernières années, montrant des résultats prometteurs mais très préliminaires. En particulier, l'analyse statistique de l'homologie persistante de champs aléatoires reste largement inexplorée. L'objectif général de cette thèse est d'aborder ce dernier problème en développant de nouveaux outils pour l'analyse statistique de l'homologie persistante de champs aléatoires multidimensionnels.

During the last decades, the wide availability of measurement devices and simulation tools has not only led to an explosion in the amount of available data, but also in a spectacular increase in their complexity making their analysis more and more challenging. This challenge has led to the development of a wide variety of new mathematical theories and tools among which (algebraic) topology and geometry have recently shown to be particularly relevant. The study of geometric and topological properties of random processes and random fields is a long standing subject that has led to remarkable results during the last decades. More precisely, the study of persistent homology and TDA-related properties of random fields is a much more recent topic of practical interest. It has been attracting more and more attention these last years, showing promising but very preliminary results. In particular, the statistical analysis of persistent homology of random fields remains widely unexplored. The overall objective of this PhD is to address this last problem by developing new tools for the statistical analysis of the persistent homology of multidimensional random fields.