L'Effet Hall quantique à travers la géométrie algébrique

Quantum Hall effect via algebraic geometry

• Auteur / Autrice : María Abad aldonza
• Direction : Dimitri Zvonkine
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2022
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques Hadamard (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques de Versailles
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Algèbre et géométrie (LMV)
• Partenaire(s) de recherche : Référent : Université de Versailles-Saint-Quentin-en-Yvelines (1991-....)

Mots clés

Mots clés libres

Effet Hall quantique

États topologiques

Groupe de Picard

Quantum Hall effect

Topological states

Picard group

Résumé

L'effet Hall quantique est un phénomène électromagnétique observé quand un courant électrique traverse une plaque conductrice fine sujette à des basses températures et un champ magnétique perpendiculaire. L'expérience peut être modelisée en assimilant le conducteur à un tore (ou une autre surface fermée de genre g plus générale) et le champ magnétique à une connexion sur un fibré en droites complexe. Les états fondamentaux des particules chargées sur la surface peuvent être vus comme des sections holomorphes du fibré en droites. On peut étudier des propriétés géométriques de ce modèle telles que la première classe de Chern du fibré, l'espace de ses structures holomorphes, les connexions ou l'effet sur le modèle d'une déformation de la surface. Les résultats obtenus peuvent donner lieu à des prédictions intéressantes sur des expériences de l'effet Hall quantique.

The quantum Hall effect is an electromagnetic phenomenon observed when an electric current flows through a thin conducting plate subjected to low temperatures and a perpendicular magnetic field. The experience can be modelled assimilating the conductor to a torus (or more generally to a closed surface of genus g) and the magnetic field to a connection on a complex line bundle over the surface. Ground states of the charged particles on the surface are described by holomorphic sections of this line bundle. One can then study the geometrical properties of this model, such as the first Chern class of the line bundle, the space of its holomorphic structures, connections or what happens when the surface undergoes a deformation. The findings of this study can be then translated back into interesting predictions for experiences of the quantum Hall effect.