Matrices aléatoires : grande dimension et résolution exacte

Random Matrices : Large dimension and exactly solvable models

• Auteur / Autrice : Quentin Francois
• Direction : Djalil Chafaï
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Sciences
• Date : Inscription en doctorat le 31/08/2022
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)

Mots clés

Mots clés libres

Matrices Aléatoires

Polynôme Caractéristique

Calcul Stochastique

Probabilités Libres

Distribution Spectrale

Random Matrices

Characteristic Polynomial

Stochastic Calculus

Free Probability

Spectral Distribution

Résumé

Ce projet de thèse aborde des questions ouvertes issues de la théorie des matrices aléatoires, en liaison avec des phénomènes de grande dimension et des aspects intégrables ou exactement résolubles. Les pistes proposées sont les suivantes (points de départ à explorer et moduler): — Tenter d'établir que l'optimalité du moment d'ordre 2 découverte dans [BCGZ] pour le rayon spectral des matrices de Girko n'est que l'extrémité d'une interpolation elliptique avec l'optimalité du moment d'ordre 4 pour les matrices de Wigner. Cela s'inscrit dans la thématique de l'analyse asymptotique en grande dimension des polynômes caractéristiques, le cas des β-ensembles est abordé dans [LP]. Mots-clés : rayon spectral, polynôme caractéristique, zéros de fonctions analytiques aléatoires, méthode combinatoire des moments, théorème central limite. — Tenter d'étendre les résultats de [BCL] sur le phénomène de cutoff pour le processus de Dyson aux cas Laguerre et Jacobi dont les propriétés d'intégrabilité sont importantes, en relation avec l'observation de Michel Lassalle sur les polynômes orthogonaux des β-ensembles Hermite/Laguerre/Jacobi. Développer également l'analyse fonctionnelle probabiliste proposée dans [GLBM]. Mots-clés : processus de diffusion, calcul stochastique, gaz de Coulomb, polynômes orthogonaux, universalité, couplage, inégalités fonctionnelles. — Tenter d'étudier la formulation en puzzles de Knutson–Tao du problème de Horn unitaire dont le cas discret a été élucidé récemment dans [BKPT]. Plus généralement, étudier d'un point de vue probabiliste les coefficients de Littlewood–Richardson quantiques définis formellement en [B] : en grande dimension, on s'attend à ce que ces coefficients soient reliés à la convolution multiplicative libre de mesures unitaires. Mots-clés : distribution spectrale de matrices unitaires aléatoires, analyse de Fourier pour les partitions, probabilités libres, théorie des représentations, cohomologie quantique des grassmanniennes. [B] Aaron Bertram Quantum Schubert Calculus Advances in Mathematics 128, No 2, 289-305 (1997) [BCGZ] Charles Bordenave, Djalil Chafaï, and David García-Zelada Convergence of the spectral radius of a random matrix through its characteristic polynomial Probab. Theory Relat. Fields 182, No. 3-4, 1163-1181 (2022) [BCL] Jeanne Boursier, Djalil Chafaï, Cyril Labbé Universal cutoff for Dyson Ornstein Uhlenbeck process Prépublication arXiv:2107.14452 [BKPT] Anton S. Buch, Andrew Kresch, Kevin Purbhoo and Harry Tamvakis The puzzle conjecture for the cohomology of two-step flag manifolds Journal of Algebraic Combinatorics 44, No. 4, 973-1007 (2016) [GLBM] Arnaud Guillin, Pierre Le Bris, and Pierre Monmarché On systems of particles in singular repulsive interaction in dimension one : log and Riesz gas Prépublication arXiv:2204.10653 [LP] Gaultier Lambert and Elliot Paquette Strong approximation of Gaussian beta-ensemble characteristic polynomials : the hyperbolic regime Prépublication arXiv:2001.09042

This thesis tackles open questions in random matrix theory together with high-dimensionnal problems and exactly solvable models. In particular, the following could be studied: — Try to show that the optimality of the second order moment discovered in [BCGZ] for the spectral radius of Girko matrices is an elliptic interpolation of the fourth order moment for Wigner matrices. This is part of the asymptotic analysis of characteristic polynomials in large dimensions. The case of the β-ensembles is established in [LP]. — Try to extend the result of [BCL] regarding the cutoff phenomena for Dyson processes to Laguerre and Jacobi, where there are strong integrability properties, in relation with Michel Lassalle's observation on Hermite/Laguerre/Jacobi orthogonal polynomials. Construct the functional analysis mentioned in [GLBM]. — Try to study the Knutson-Tao puzzle formulation of the unitary Horn problem, for which its discrete counterpart has been solved recently in [BKPT]. More generally, make a probabilistic study of Littlewood-Richardson quantum coefficients defined in [B] : in large dimensions, those coefficients are expected to be related to free multiplicative convolution of unitary measures. [B] Aaron Bertram Quantum Schubert Calculus Advances in Mathematics 128, No 2, 289-305 (1997) [BCGZ] Charles Bordenave, Djalil Chafaï, and David García-Zelada Convergence of the spectral radius of a random matrix through its characteristic polynomial Probab. Theory Relat. Fields 182, No. 3-4, 1163-1181 (2022) [BCL] Jeanne Boursier, Djalil Chafaï, Cyril Labbé Universal cutoff for Dyson Ornstein Uhlenbeck process Prépublication arXiv:2107.14452 [BKPT] Anton S. Buch, Andrew Kresch, Kevin Purbhoo and Harry Tamvakis The puzzle conjecture for the cohomology of two-step flag manifolds Journal of Algebraic Combinatorics 44, No. 4, 973-1007 (2016) [GLBM] Arnaud Guillin, Pierre Le Bris, and Pierre Monmarché On systems of particles in singular repulsive interaction in dimension one : log and Riesz gas Prépublication arXiv:2204.10653 [LP] Gaultier Lambert and Elliot Paquette Strong approximation of Gaussian beta-ensemble characteristic polynomials : the hyperbolic regime Prépublication arXiv:2001.09042