Analyse du problème des oscillations parasites des méthodes de Volumes Finis pour des écoulements à faible nombre de Mach en mécanique des fluides

Analysis of spurious oscillations problem of Finite Volume Methods for low Mach number flows in fluid mechanics

• Auteur / Autrice : Ibtissem Lannabi
• Direction : Vincent Perrier, Jonathan Jung
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 25/11/2024
• Etablissement(s) : Pau
• Ecole(s) doctorale(s) : Sciences Exactes et leurs Applications
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications de Pau
• Jury : Président / Présidente : Pascal Omnes
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Vincent Perrier, Marie-Hélène Vignal, Khaled Saleh, Wasilij Barsukow, Jonathan Jung
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Marie-Hélène Vignal, Khaled Saleh

Mots clés

Mots clés libres

Système d'Euler compressible

Écoulements à bas nombre de Mach

Schémas Volumes Finis

Système des ondes linéaire

Modes en échiquiers

Oscillations numériques

Compressible Euler system

Low Mach number flows

Finite Volume schemes

Linear acoustic wave system

Checkerboard modes

Numerical oscillations

Résumé

Cette thèse est consacrée à la simulation numérique d'écoulements de fluides à faibles nombres de Mach, modélisés par le système d'Euler compressible. Les solveurs fréquemment utilisés pour discrétiser ce modèle sont des solveurs de type Godunov. Cependant, ces solveurs se comportent très mal à bas nombre de Mach en termes d'efficacité et de précision. En effet, lorsque le nombre de Mach tend vers zéro, les ondes matérielles et acoustiques se propagent sur deux échelles de temps distinctes, rendant ainsi la discrétisation temporelle délicate. En particulier, un schéma explicite est stable sous critère CFL, qui dépend de la vitesse du son, rendant ainsi cette condition très contraignante. En ce qui concerne le problème de précision observé dans le cas des grilles quadrangulaires, il s'agit du fait que la solution discrète ne converge pas vers la solution incompressible lorsque le nombre de Mach tend vers zéro. Pour s'affranchir de ce problème de précision, plusieurs correctifs ont été développés, consistant à modifier la diffusion numérique du schéma original. Ces correctifs améliorent la précision des schémas compressibles à faible nombre de Mach, mais introduisent d'autres problèmes, tels que l'apparition de modes oscillants (mode échiquier sur une grille cartésienne) dans la solution numérique ou l'extrême diffusion des ondes acoustiques. L'efficacité est également compromise car ces schémas sont stables sous une CFL encore plus restrictive que le schéma original. L'un des correctifs développés pour établir un compromis entre la précision vis-a-vis de la solution incompressible, la propagation d'ondes acoustiques et une CFL équivalente à celle du schéma original est le correctif LMAAP. Ce schéma consiste également à modifier la diffusion numérique du schéma original et il a été développé pour le système d'Euler barotrope. Nous proposons d'étendre ce correctif au système d'Euler complet. Le développement de ce correctif repose sur une analyse asymptotique à deux échelles en temps. Nous proposons ainsi d'étendre cette analyse au système d'Euler complet avec une loi d'état générale. Ceci nous permet d'établir un lien avec le système des ondes linéaire, comme dans le cas barotrope. Ensuite, en appliquant cette analyse au niveau discret, nous obtenons également une discrétisation du système des ondes. En s'appuyant sur ces résultats et ceux obtenus dans la construction du correctif LMAAP dans le cas barotrope, nous proposons une extension du schéma LMAAP au système d'Euler complet, qui préserve ainsi la limite asymptotique. Ensuite, nous proposons d'analyser le phénomène des oscillations qui affectent une partie des correctifs proposés dans la littérature. Nous nous intéressons aux correctifs basés sur le schéma de Roe, en particulier ceux qui réduisent la diffusion numérique sur la vitesse normale. L'analyse asymptotique de ces schémas conduit à une discrétisation du système des ondes pour laquelle le gradient de pression est centré. Afin de mieux comprendre le phénomène, on se concentre sur le système des ondes. On montre alors que ce schéma n'est pas stable au sens de von-Neumann : la condition suffisante pour la stabilité n'est pas satisfaite, bien que la condition nécessaire le soit. On montre également que ce correctif n'est pas TVD, contrairement au schéma de Godunov, ce qui explique l'apparition des oscillations dans la solution instationnaire. Ensuite, on étudie le comportement en temps long de la solution numérique. Il s'avère que des oscillations parasites stationnaires apparaissent sur la vitesse, et empêche la convergence en maillage de la solution discrète. De plus, la dimension associée à ces modes parasites est considérable, ce qui rend difficile la mise en place d'un filtrage de ces modes. On conclut ce travail en constatant que la modification de la diffusion numérique rend difficile l'élaboration de méthodes numériques à la fois stables et précises pour des écoulements à faible nombre de Mach.

This thesis is devoted to the numerical simulation of low Mach number flows, modeled by the compressible Euler system. Commonly used solvers for discretizing this model are Godunov-type schemes. These schemes exhibit poor performance at low Mach number in terms of efficiency and accuracy. Indeed, when the Mach number tends to zero, material and acoustic waves propagate on two distinct time scales, making temporal discretization challenging. In particular, an explicit scheme is stable under a CFL condition, which depends on the speed of sound, making this criterion very restrictive. Regarding the accuracy problem observed with quadrangular grids, it arises from the fact that the discrete solution fails to converge to the incompressible solution as the Mach number tends to zero. To overcome this accuracy problem, many fixes have been developed and consist in modifying the numerical diffusion of the original scheme. These corrections improve the accuracy of compressible schemes as the Mach number goes to zero. Unfortunately they introduce other problems, such as the appearance of numerical oscillations (checkerboard modes on a Cartesian grid) in the numerical solution, or the damping of acoustic waves as the Mach number goes to zero. Efficiency is also compromised as these schemes are stable under a more restrictive CFL condition compared to the original scheme. One of the schemes developed to establish a compromise between accuracy in the incompressible limit, propagation of acoustic waves and a stability under a CFL criterion equivalent to that of the original scheme is the LMAAP scheme. This scheme also consists in modifying the numerical diffusion of the original scheme and has been developed for the barotropic Euler system. We propose to extend this fix to the full Euler system with a general equation of state. The development of this scheme is based on a two-time scale asymptotic analysis. We thus propose to extend this multiscale analysis to the full Euler system with a general equation of state. This leads to a link with a linear acoustic wave system, as in the barotropic case. Then, by applying this analysis at the discrete level (on the Roe scheme), we also obtain a discretization of a wave system. Based on these results and those obtained in the construction of the LMAAP in the barotropic case, we propose an extension of the LMAAP scheme to the full Euler system, which thus preserves the asymptotic limit. Next, we propose to study the phenomenon of oscillations that plagues some of the fixes proposed in the literature. We focus on Roe-type fixes, in particular those that reduce the numerical diffusion on the jump of the normal velocity. The asymptotic analysis of these schemes leads to a discretization of a wave system in which the pressure gradient is centered. To better understand the phenomenon, we focus on the linear wave system. We then show that this scheme is not stable in the von-Neumann sense: while the necessary condition for stability is satisfied, the sufficient condition is not. We also show that this fix is not TVD, unlike the Godunov scheme, which explains the appearance of numerical oscillations in the unsteady solution. Next, we study the long-time behavior of the numerical solution. It turns out that spurious stationary oscillations appear on the velocity field, preventing mesh convergence of the numerical solution. Moreover, the dimension of the space of spurious modes is huge, making it difficult to consider any form of filtering for these modes. We conclude this work by noting that the modification of the numerical diffusion makes it difficult to develop numerical methods that are both stable and accurate for low Mach number flows.