Reconstruction de flux pour un problème d'interface et application à l'analyse d'erreur a posteriori

Numerical flux reconstruction for an interface problem and application to a posteriori error analysis

• Auteur / Autrice : Aimene Gouasmi
• Direction : Daniela Capatina
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le ; Soutenance le 05/12/2024
• Etablissement(s) : Pau
• Ecole(s) doctorale(s) : Sciences Exactes et leurs Applications
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques et de leurs Applications de Pau
• Jury : Président / Présidente : Gilles Carbou
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Daniela Capatina, Emmanuel Creuse, Alexei Lozinski, Patrick Hild, Roland Becker
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Emmanuel Creuse, Alexei Lozinski

Mots clés

Mots clés libres

Analyse numérique des EDP

Éléments finis

Traitement numérique d'interface

Flux conservatif

Analyse d'erreur a posteriori

Raffinement adaptatif de maillage

Numerical analysis of PDEs

Finite elements

Numerical treatment of interface

Conservative flux

A posteriori error analysis

Adaptive mesh refinement

Résumé

La reconstruction locale de flux numériques conservatifs à partir d’une solution éléments finis, ainsi que leur application dans différents contextes, comme l’estimation d’erreur a posteriori ou la conservation de flux en mécanique des milieux continus, sont des sujets de recherche importants, largement étudiés dans la littérature. Dans cette thèse, nous considérons des problèmes elliptiques caractérisés par la présence d’interfaces pas nécessairement alignées avec le maillage. Notre objectif est de reconstruire des flux conservatifs et de les utiliser dans l’analyse d’erreur a posteriori et dans le raffinement adaptatif de maillage. Cela nous amène à développer une technique de reconstruction pour la méthode CutFEM, choisie pour traiter numériquement l’interface, qui soit robuste par rapport à la discrétisation, à la géométrie de l’interface et aux coefficients de diffusion. Concernant la méthode de reconstruction, nous avons choisi de généraliser une approche développée précédemment pour le problème de Poisson, discrétisé par éléments finis standard. L’idée est d’introduire une formulation mixte équivalente à la formulation discrète, à travers un multiplicateur de Lagrange défini sur les arêtes et qui sert à corriger le flux. Dans la première partie de la thèse, nous étudions un problème de diffusion en 2D avec des interfaces alignées avec le maillage. Nous nous sommes d’abord intéréssés aux éléments finis simpliciaux non-conformes. En plus des espaces usuels de degré impair, nous considérons une famille d’éléments finis de degré quelconque et proposons une reconstruction de flux robuste et unifiée pour ces deux types d’espaces. Nous considérons ensuite une approximation conforme, qui conduit à une formulation mixte pour laquelle nous obtenons des résultats innovants, en fournissant une constante inf-sup ainsi qu'une borne du flux qui dépendent explicitement des coefficients de diffusion. Dans le cas des coefficients quasi- monotones, nous retrouvons des résultats de robustesse existants. L’analyse d’erreur a posteriori confirme la fiabilité et l’efficacité locale de l’estimateur d’erreur. Les résultats théoriques sont validés par des simulations numériques dans le cas conforme. La deuxième partie de la thèse aborde un problème elliptique avec une interface non-alignée avec le maillage, avec des coefficients discontinus et des conditions de transmission à l’interface. Pour traiter les mailles coupées, on utilise la méthode CutFEM qui est robuste par rapport à la position de l’interface. Nous nous limitons ici aux éléments finis continus. La reconstruction de flux conservatifs et l’analyse d’erreur a posteriori sous-jacente représentent de nouvelles thématiques dans ce contexte. Un premier flux est défini dans l’espace de Raviart-Thomas de chaque sous-domaine. Cela nécessite d’introduire une extension des données pour assurer la conservation locale sur les mailles coupées. Bien que robuste, cette reconstruction ne permet pas d’établir la fiabilité de l’estimateur. C'est pour cela que nous considérons un autre flux, dans l’espace de Raviart-Thomas du domaine entier, qui satisfait la conservation locale sans extension des données, ainsi que la continuité des traces normales. Ces propriétés permettent de prouver la fiabilité de l’estimateur d’erreur, bien que son efficacité locale reste limitée. Des expériences numériques confirment ces résultats. Pour pallier à cette limitation, nous proposons enfin une reconstruction dans l’espace de Raviart-Thomas immergé de plus bas degré, dont les éléments respectent fortement la condition de transmission à travers l’interface et prennent aussi en compte faiblement la continuité de la solution. Nous montrons la conservation du flux et établissons la fiabilité et l’efficacité locale du nouvel estimateur d’erreur, tout en assurant la robustesse par rapport aux coefficients de diffusion. Enfin, nous proposons une extension de l’espace immergé de Raviart-Thomas au degré supérieur.

Local reconstruction of conservative numerical fluxes from a finite element solution, as well as their application in various contexts such as a posteriori error estimation or flux conservation in continuum mechanics, are important research topics widely studied in the literature. In this thesis, we consider elliptic problems characterized by the presence of interfaces that are not necessarily aligned with the mesh. Our goal is to reconstruct conservative fluxes and use them in a posteriori error analysis and adaptive mesh refinement. This leads us to develop a reconstruction technique for the CutFEM method, chosen to handle the interface numerically, which is robust with respect to the discretization, the interface geometry, and the diffusion coefficients. Regarding the reconstruction method, we chose to generalize an approach previously developed for the Poisson problem, discretized using standard finite elements. The idea is to introduce a mixed formulation equivalent to the discrete formulation, using a Lagrange multiplier defined on the edges, which is further used to correct the flux. In the first part of the thesis, we study a 2D diffusion problem with interfaces aligned with the mesh. We first focus on non-conforming simplicial finite elements. In addition to the usual odd-degree spaces, we consider a family of finite elements of arbitrary degree and propose a robust and unified flux reconstruction for these two types of spaces. We then consider a conforming approximation, which leads to a mixed formulation for which we obtain innovative results. In particular, we provide an inf-sup constant as well as a flux bound that explicitly depend on the diffusion coefficients. In the case of quasi-monotone coefficients, we recover existing robustness results. The a posteriori error analysis confirms the reliability and local efficiency of the error estimator. The theoretical results are validated by numerical simulations in the conforming case. The second part of the thesis addresses an elliptic problem with an interface not aligned with the mesh, with discontinuous coefficients and transmission conditions at the interface. To handle the cut cells, we use the CutFEM method, which is robust with respect to the position of the interface. Here, we limit ourselves to continuous finite elements. The reconstruction of conservative fluxes and the underlying a posteriori error analysis represent new topics in the CutFEM context. An initial flux is defined in the Raviart-Thomas space of each subdomain. This requires introducing an extension of the data in order to ensure local conservation on the cut cells. Although robust, this reconstruction does not allow to establish the reliability of the estimator. Therefore, we consider another flux in the Raviart-Thomas space of the entire domain, which satisfies local conservation without any data extension, as well as normal trace continuity across the interface. These properties allow us to prove the reliability of the error estimator, although its local efficiency remains limited. Numerical experiments confirm these results. To overcome this limitation, we finally propose a reconstruction in the lowest-degree immersed Raviart-Thomas space, whose elements strongly respect the transmission condition at the interface and also weakly take into account the continuity of the solution. We prove the flux conservation and establish the reliability and local efficiency of the new error estimator, while ensuring robustness with respect to the diffusion coefficients. Finally, we propose an extension of the immersed Raviart-Thomas space to the next higher degree.