Atomes d'un opérateur positif sur Lp et application à l'étude des équilibres d'un modèle SIS infini-dimensionnel

Atoms of a positive operator on Lp and application to the study of equilibria of an infinite-dimensional SIS model

• Auteur / Autrice : Kacem Lefki
• Direction : Jean-François Delmas, Pierre-André Zitt
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2021
• Etablissement(s) : Université Gustave Eiffel
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2010-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées (Créteil ; 1992-....)

Mots clés

Mots clés libres

Opérateur positif

Décomposition atomique

Irréductibilité

Modèle SIS

Équilibre endémique

Taux d'incidence généralisé

Positive operator

Atomic decomposition

Irreducibility

SIS model

Endemic equilibrium

Generalized incidence rate

Résumé

Les modèles de propagation des épidémies sont bien connus depuis le milieu du XXème siècle, voir la monographie [1] sur les modèles pour les populations homogènes et plus récemment le “survey” [4]. Le modèle “susceptible-infected-recoverd” (SIR) est très largement ́étudié, et par exemple utilisé pour la mod́élisation de la COVID-19, voir [5]. Si on souhaite tenir compte de populations non homogènes, on peut alors considérer une structure de graphe aléatoire (par exemple les graphes d'Erdös-Rényi) pour les relations entres individus dans une population, voir la monographie [7]. Si la population est grande, alors le graphe qui modélise la structure est également grand. Si l'on considère des grands graphes denses (i.e. le degré d'un sommet du graphe est de l'ordre de grandeur du nombre de sommets du graphes) aléatoires ou déterministes, il est possible de les étudier en considérant les objets limites possibles associés, appelés graphons. L'étude des graphons a été developpée depuis les années 2000, voir la monographie [8]. Enfin, plusieurs travaux ont considéré des modèles de propagation d'épidémies sur des grands graphes non homogènes fixes, voir [6] et sa bibliographie. Toutefois, lors de la pandémie COVID-19 le graphe des relations sociales (qui donne la dynamique de la propagation de l'épidémie) a été modifié par la propagation de l'épidémie au travers en particulier des changements de comportements individuels. L'objectif de la thèse sera d'étudier un modèle simple (par exemple le modèle SIR) de propagation d'épidémie dans une très grande population non-homogène et l'interaction entre la propagation de l'épidémie et le réseau social. En particulier, il sera intéressant d'obtenir les dynamiques asymptotiques d'évolution du grand réseau dense. Pour l'instant quelques travaux récents abordent partiellement cette question, voir [2] où la propagation de l'épidémie ne dépend pas du réseau mais le réseau dépend de l'épidémie ; ou [3, 9] où des mécanismes très simples d'évolution des graphes sont considérés. References : [1] H. Andersson and T. Britton. Stochastic epidemic models and their statistical anal-ysis, volume 151 ofLecture Notes in Statistics. Springer-Verlag, New York, 2000. [2] S. Athreya, F. den Hollander, and A. Röllin. Graphon-valued stochastic processes from population genetics.arXiv:1908.06241, 2019. [3] F. Ball and T. Britton. Epidemics on networks with preventive rewiring.arXiv:2008.06375, 2020. [4] T. Britton. Stochastic epidemic models: A survey.Math. Biosci., 225(1):24–35,2010. [5] I. Cooper, A. Mondal, and C. G. Antonopoulos. A SIR model assumption forthe spread of COVID-19 in different communities.Chaos, Solitons and Fractals,139:110057, 2020. [6] J.-F. Delmas, D. Dronnier, and P.-A. Zitt. An infinite-dimensional SIS model.arXiv:2006.08241, 2020. [7] M. Draief and L. Massoulié. Epidemics and rumours in complex networks, volume369 ofLondon Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge UniversityPress, Cambridge, 2010. [8] L. Lovász. Large networks and graph limits, volume 60 of American Mathematical Society Colloquium Publications. American Mathematical Society, Providence, RI,2012. [9] D. Yao and R. Durrett. Epidemics on evolving graphs.arXiv:2003.08534, 2020

Models of epidemic propagation are well known since the 20th century, see the monograph [1] on homogeneous populations and more recently the survey [4]. The “susceptible-infected-recoverd” (SIR) model is widely studied, and is used to model the COVID-19 pandemic, see [5]. If one would like to take into account non homogeneous populations, one can consider using random graph structures (as Erdös-Rényi graphs) to model interactions among individuals in a population, see the monograph [7]. If the population is large, the graph modelling it is also large. Considering random or deterministic large dense graphs (i.e. the degree of one vertex of the graph is roughly the numbers of vertices), one can study them using the associated limit objects, calles graphons, see the monograph [8]. Several studies were considering propagation models on non homogeneous fixed large denses graphs, see [6] and its bibliography. However, during the COVID-19 pandemic, the graph of social relationships (giving the propagation dynamics) was modified by the propagation of the epidemic, in particular through individual behaviour changes. One objective of the PhD will be to study an easy model (for example SIR model) of epidemics spreading in a large non-homogeneous population, and the interaction between the spreading of the epidemics and the social network. In particular, it will be intersting to get some asymptotic dynamics of evolution in a large dense network. Right now, some recent papers partially consider ths question, see [2] where the epidemics spreading does not depend on the network, but the network depends on the epidemics ; or [3,9] while some elementary mecanisms of graph evolution are considered. References : [1] H. Andersson and T. Britton. Stochastic epidemic models and their statistical anal-ysis, volume 151 ofLecture Notes in Statistics. Springer-Verlag, New York, 2000. [2] S. Athreya, F. den Hollander, and A. Röllin. Graphon-valued stochastic processes from population genetics.arXiv:1908.06241, 2019. [3] F. Ball and T. Britton. Epidemics on networks with preventive rewiring.arXiv:2008.06375, 2020. [4] T. Britton. Stochastic epidemic models: A survey.Math. Biosci., 225(1):24–35,2010. [5] I. Cooper, A. Mondal, and C. G. Antonopoulos. A SIR model assumption forthe spread of COVID-19 in different communities.Chaos, Solitons and Fractals,139:110057, 2020. [6] J.-F. Delmas, D. Dronnier, and P.-A. Zitt. An infinite-dimensional SIS model.arXiv:2006.08241, 2020. [7] M. Draief and L. Massoulié. Epidemics and rumours in complex networks, volume369 ofLondon Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge UniversityPress, Cambridge, 2010. [8] L. Lovász. Large networks and graph limits, volume 60 of American Mathematical Society Colloquium Publications. American Mathematical Society, Providence, RI,2012. [9] D. Yao and R. Durrett. Epidemics on evolving graphs.arXiv:2003.08534, 2020