Cardinal-rigidité et équivalence des ensembles pour les processus ponctuels de Gibbs avec interactions sommables et non-sommables.

Number rigidity and equivalence of ensembles for Gibbs point processes with summable and non-summable interactions.

• Auteur / Autrice : Thibaut Vasseur
• Direction : David Dereudre
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Inscription en doctorat le 01/09/2018
• Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : MADIS Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé

Mots clés

Mots clés libres

Mesures de Gibbs

Rigidité

Interaction de Riesz

Gibbs measure

Rigidity

Riesz interaction

Résumé

Une classe importante de modèles pour des particules en interaction sont les processus ponctuels de Gibbs. Leur définition sur des volumes finis est simple, mais le passage en volume infini est difficile. Une approche naturelle est de considérer une suite de mesures sur des volumes finis emplissant l'espace, mais la convergence d'une telle suite n'est pas garantie en général. Le premier objectif de la thèse sera de montrer l'existence de limites pour une certaine classe d'interactions (typiquement des interactions par paires de portée infinie éventuellement non sommables) et que ces limites définissent bien des mesures de Gibbs, au sens des équations de Dobrushin, Lanford et Ruelle, qui sont une prescription des lois conditionnelles. La suite la thèse sera consacrée à l'étude de ces points limites, par exemple en cherchant à les représenter par des mélanges ou en les caractérisant à l'aide d'un principe variationnel. Un intérêt particulier sera porté à la propriété de rigidité. Il s'agit de comprendre si la configuration à l'extérieur d'un domaine détermine des caractéristiques à l'intérieur de ce domaine (nombre de points, barycentre, etc.). La propriété d'hyper-uniformité sera aussi étudiée. Celle-ci indique si les fluctuations (la variance) du nombre de points dans un grand domaine sont de l'ordre du volume (comme pour le processus de Poisson) ou d'ordre inférieur.

An important class of models for interacting particles are the Gibbs point processes. Defining them on finite volumes is easy, but hard in infinite volume. A natural approach is to consider a sequence of measures on finite volumes tending to the whole space, but the convergence of a such sequence is not ensured in general. The first goal of the thesis is to show the existence of such limits for a certain class of interactions (typically pairwise interaction with infinite range, eventually non summable) and to show these limits are effectively Gibbs measures, in the sense of the Dobrushin, Lanford and Ruelle (DLR equations), which corresponds to prescribe conditional laws. The next part of the thesis will be the study of these limit processes, trying to represent them by a mixing or to characterise them with a variational principle. A great focus will be given on the rigidity property. It corresponds to the following question: do the configuration outside of a domain determines characteristics of the inside of the domain (number of points, barycenter, etc.). The hyperuniformity property will also be studied. It corresponds to the question of whether the fluctuations (the variance) of the number of points in a large domain are in the order of the volume (as is the case for the Poisson point process) or in a lower order.