Espaces modèles, ensembles spectraux et inégalités de type Schwarz-Pick

Model spaces, spectral sets and Schwarz-Pick type inequalities

• Auteur / Autrice : Axel Renard
• Direction : Catalin Badea
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2021
• Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : MADIS Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé

Mots clés

Mots clés libres

Analyse fonctionnelle

Théorie des opérateurs

Analyse mathématique

Analyse complexe

Théorie spectrale

Géométrie hyperbolique

Functional analysis

Operator theory

Mathematical analysis

Complex analysis

Spectral theory

Hyperbolic geometry

Résumé

Il s'agit d'un sujet d'analyse fonctionnelle, plus précisément un sujet en théorie spectrale des opérateurs avec des applications en dynamique linéaire. La notion d'ensemble spectral a été introduite par John von Neumann en 1951 ; une généralisation naturelle est la notion d'ensemble K-spectral. L'exemple fondamental d'un ensemble spectral est le disque unité dans le plan complexe qui est un ensemble spectral pour chaque contraction hilbertienne (l'inégalité de von Neumann). Badea, Beckermann et Crouzeix ont démontré en 2009 que la fermeture de la couronne {z : r < |z| < R} est un ensemble K-spectral pour tout opérateur inversible A sur un espace de Hilbert tel que la norme de A est inférieure ou égale à R et la norme de son inverse inférieure ou égale à 1/r, avec une constante universelle K majorée par 3,155. Le sujet propose l'étude de plusieurs domaines du plan complexe du point de vue des ensembles spectraux et K-spectraux et propose plusieurs applications possibles en théorie spectrale des opérateurs et en dynamique linéaire.

It is a subject of functional analysis, more precisely a subject of spectral theory of operators with applications in linear dynamics. The notion of spectral set was introduced by John von Neumann in 1951; a natural generalization is the notion of a K-spectral set. The fundamental example of a spectral set is the unit disk in the complex plane which is a spectral set for each Hilbertian contraction (von Neumann's inequality). Badea, Beckermann and Crouzeix have proved in 2009 that the closure of the annulus {z: r <| z | <R} is a K-spectral set for any invertible operator A on a Hilbert space such that the norm of A is less than or equal to R and the norm of its inverse less than or equal to 1 / r, with a universal constant K increased by 3.155. The subject proposes the study of several domains of the complex plane from the point of view of spectral and K-spectral sets and proposes several possible applications in spectral theory of operators and in linear dynamics.