Méthodes numériques avancées pour les problèmes à forte raideur en transport réactif

Advanced numerical methods for high stiffness problems in reactive transport

• Auteur / Autrice : Maxime Jonval
• Direction : Clément Cancès, Quang Huy Tran
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 18/11/2024
• Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École graduée Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille ; 2021-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre Inria de l'Université de Lille - Laboratoire Paul Painlevé
• Jury : Président / Présidente : Carole Rosier
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Roland Masson, Irina Sin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Pascal Omnes, Brahim Amaziane

Mots clés

Mots clés contrôlés

Newton, Méthode de

Équilibre chimique

Systèmes non linéaires

Simulation par ordinateur

Écoulement en milieux poreux

Mots clés libres

Simulation numérique

Préconditionnement non-Linéaire

Transport réactif

Numerical simulation

Nonlinear preconditioning

Reactive transport

Résumé

La simulation du transport réactif en milieu poreux est un enjeu majeur pour la transition énergétique, avec des applications pour la séquestration du CO2, la géothermie et le stockage d'hydrogène. La performance des codes de transport réactif est aujourd'hui fortement limitée par les difficultés numériques liées à la modélisation chimique. Ces difficultés se rattachent à un problème de raideur des équations à résoudre. Dans cette thèse, on s'intéresse aux réactions d'équilibre dans le cas d'une seule phase aqueuse et dans celui d'un mélange multiphasique pouvant contenir des phases aqueuses, gazeuses et minérales. Ces deux problèmes mènent à la résolution d'équations algébriques non linéaires par la méthode de Newton.Les réactions d'équilibre monophasiques considérées recouvrent une large gamme de valeurs du domaine de définition des inconnues, avec des plages de fonctionnement et des ordres de grandeurs tout à fait différents. Cela pose des problèmes lors de la résolution par la méthode de Newton. Tantôt il est préférable de choisir comme inconnues les nombres de moles des espèces, tantôt il est souhaitable de prendre leurs logarithmes (ou potentiels chimiques), sous peine d'accroître le nombre d'itérations nécessaires voire de faire diverger la méthode de Newton. Les réactions d'équilibre multiphasiques, en plus de contenir les difficultés précédentes, peuvent contenir un nombre important de phase potentiellement présentes. La présence ou l'absence d'une phase est modélisée par un problème de complémentarité. La non différentiabilité des conditions de complémentarité met en défaut la méthode de Newton dans des cas difficiles mais réalistes.Dans cette thèse, nous avons amélioré la robustesse de la méthode de Newton pour le cas monophasique grâce à une reformulation du système basé sur les fractions molaires et à l'utilisation des méthodes de paramétrage et de représentation Cartésienne. La méthode de paramétrage permet, grâce à une variable fictive, de rendre automatique le choix d'une résolution en fraction molaires ou en potentiels chimiques. La représentation Cartésienne, quant à elle, considère un système élargi où fractions molaires et potentiels chimiques sont des inconnues et où leur relation est relâchée et intégrée aux équations sous la forme d'une fonction non linéaire vérifiant ce lien à convergence. Nous avons démontré que la méthode de Newton appliquée à ces formulations vérifie la propriété de convergence quadratique locale. Les résultats numériques obtenus démontrent une robustesse accrue de nos méthodes comparées à la littérature.Pour le cas multiphasique, nous avons établi une nouvelle modélisation du problème d'équilibres chimiques. Le système obtenu permet de considérer l'absence ou la présence des phases dans un cadre rigoureux et unifié. Cette unification fait référence à la notion de fractions molaires étendues, il s'agit d'une extension de la notion de fractions molaires aux phases absentes et permet de traiter indifféremment les phases grâce à une condition de complémentarité. Nous avons appliqué les méthodes de paramétrage et de représentation Cartésienne à ce problème ainsi qu'une nouvelle méthode de paramétrage de la complémentarité. Cette dernière a été comparée à différentes approches de la littérature pour le traitement de la complémentarité. Les expériences numériques obtenues ont montré une nette amélioration en termes de robustesse et de rapidité par rapport à l'état de l'art.

The simulation of reactive transport in porous media is a major challenge for the energy transition, with applications in CO2 sequestration, geothermal energy and hydrogen storage. Today, the performance of reactive transport codes is severely limited by the numerical difficulties associated with chemical modeling. These difficulties are related to the stiffness of the equations to be solved. In this thesis, we focus on equilibrium reactions in the case of a single aqueous phase and in the case of a multiphase mixture that may contain aqueous, gaseous and mineral phases. Both problems lead to the solution of nonlinear algebraic equations using Newton's method.The single-phase equilibrium reactions considered cover a wide range of values in the domain of definition of the unknowns, with different operating ranges and orders of magnitude. This poses problems when solving by Newton's method. Sometimes it is preferable to choose the mole numbers of the species as unknowns, sometimes it is desirable to take their logarithms (or chemical potentials), which may increase the number of iterations or cause Newton's method to diverge. Multiphase equilibrium reactions, in addition to containing the above difficulties, may also include a significant number of potentially present phases. The presence or absence of a phase is modeled by a complementarity problem. The non-differentiability of complementarity conditions causes Newton's method to fail in difficult but realistic cases.In this thesis, we have improved the robustness of Newton's method for the single-phase case by reformulating the system based on mole fractions and using the parameterization and Cartesian representation methods. The parametrization method uses a fictitious variable to automatically select a resolution in mole fractions or chemical potentials. The Cartesian representation, on the other hand, considers an extended system in which mole fractions and chemical potentials are unknowns and their relationship is relaxed and integrated into the equations in the form of a non-linear function verifying this link only at convergence. We have demonstrated that Newton's method applied to these formulations verifies the property of local quadratic convergence. The numerical results obtained demonstrate the increased robustness of our methods compared with the literature.For the multiphase case, we have established a new model of the chemical equilibrium problem. The resulting system allows us to consider the absence or presence of phases within a rigorous, unified framework. This unification refers to the notion of extended mole fractions, which is an extension of the notion of mole fractions to absent phases, and enables phases to be treated indifferently thanks to a complementarity condition. We have applied Cartesian parametrization and representation methods to this problem, as well as a new approach called the complementarity parametrization method. This method has been compared with various approaches to complementarity treatment from the literature. The numerical experiments obtained has shown a clear improvement in terms of robustness and speed compared with the state of the art.