Convolution de Day pour les bicatégories enrichies avec une application aux 2-foncteurs de Mackey

Day convolution for enriched bicategories with an application to Mackey 2-functors

• Auteur / Autrice : Nicola Carissimi
• Direction : Ivo Dell'Ambrogio
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 05/12/2024
• Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École graduée Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille ; 2021-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé
• Partenaire(s) de recherche : Financeur : Université de Lille (2018-2021)
• Jury : Président / Présidente : Carlos Simpson
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Vanessa Miemietz, Fosco Loregian, Rossana Tazzioli
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Steve Lack, Enrico Vitale

Mots clés

Mots clés contrôlés

Monoïdes

Groupes finis

Foncteurs, Théorie des

Représentations de groupes

Catégories (mathématiques)

Mots clés libres

Théorie des catégories

Représentations des groupes

Catégories monoïdales

Convolution de Day

Category theory

Group representations

Monoidal categories

Résumé

Cette thèse se compose de deux parties. Dans la première, nous étudions les bicatégories enrichies sur une bicatégorie monoïdale, comme définies par Garner-Shulman. Notre apport est de considérer un tressage sur la bicatégorie de base, tressage qui est nécessaire pour définir l'opposé d'une bicatégorie enrichie et le produit tensoriel de bicatégories enrichies. Cela nous permet de développer la théorie des ends et coends dans ce contexte.Dans la deuxième partie, nous étudions les 2-foncteurs de Mackey. Ceux-ci ont été introduits par Balmer-Dell'Ambrogio pour étudier les structures bicatégorielles issues des actions de groupes finis dans les mathématiques équivariantes. Nous montrons que la bicatégorie des 2-motifs de Mackey (qui est le codomaine du 2-foncteur de Mackey universel) admet une structure monoïdale symétrique canonique. Via les résultats théoriques de la première partie de la thèse, cette structure monoïdale symétrique permet de définir un produit de convolution de Day entre 2-foncteurs de Mackey. Grâce à ce produit de convolution, nous redéfinissons de manière simple la notion de 2-foncteur de Green comme étant un pseudomonoïde dans la bicatégorie monoïdale symétrique des 2-foncteurs de Mackey. Il s'agit d'une clarification conceptuelle de la théorie : cela fournit une analogie parfaite avec la théorie classique des foncteurs de Mackey et de Green dans le cadre des représentations des groupes finis.

This thesis consists of two parts. In the first one we study bicategories enriched over a monoidal bicategory, as defined by Garner-Shulman. The novelty is the introduction of a braiding on the base bicategory, which allows us to form opposites and tensor products of enriched bicategories. This lets us build a novel theory of ends and coends in this context.The second part concerns the notion of Mackey 2-functors as introduced by Balmer-Dell'Ambrogio for studying the bicategorical structures arising from finite group actions throughout equivariant mathematics. We prove that the bicategory of Mackey 2-motives (namely the target of the universal Mackey 2-functor) admits a canonical symmetric monoidal structure. This is combined with the results of the first part in order to define a Day convolution product of Mackey 2-functors. In its turn, the latter product allows us to redefine the notion of a Green 2-functor simply as being a pseudomonoid in the symmetric monoidal bicategory of Mackey 2-functors, This is a conceptual clarification of the theory, in that we can see the perfect analogy to the classical theory of Mackey and Green functors in the representation theory of finite groups.