Etude théorique et numérique de problèmes isopérimétriques perturbés

Theoretical and numerical analysis of perturbed isoperimetric problems

• Auteur / Autrice : Jules Candau-Tilh
• Direction : Benoît Merlet, Michael Goldman
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 11/10/2024
• Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École graduée Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille ; 2021-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé
• Jury : Président / Présidente : Simon Masnou
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Vincent Millot, Maxime Laborde, Juliette Venel
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Guillaume Carlier, Annalisa Massaccesi

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations aux dérivées partielles non linéaires

Inégalités isopérimétriques

Mesure géométrique, Théorie de la

Calcul des variations

Transport optimal de mesure

Mots clés libres

Théorie géométrique de la mesure

Analyse des EDP

Optimal transport

Calculus of variations

Geometric measure theory

Analysis of PDEs

Résumé

Nous étudions dans ce manuscrit des problèmes isopérimétriques perturbés. Ces problèmesconsistent en la minimisation d'une énergie formée d'un terme de périmètre qui favorise l'agrégation demasse, auquel s'oppose un terme perturbatif favorisant la désagrégation.Nous commençons par présenter les concepts utilisés ainsi que la recherche passée et actuelleeffectuée sur le problème isopérimétrique et ses variantes.Nous étudions dans le chapitre 1 un problème où le périmètre interagit avec un terme non-local ditde transport extérieur. Nous montrons l'existence de solutions à ce problème et, dans les régimes où lepérimètre domine, nous prouvons que les minimiseurs sont les boules.Le chapitre 2 est consacré au terme de transport extérieur. Dans un cadre général, nous montronsque le problème le définissant admet des solutions et une formulation duale. A l'aide d'hypothèses plusfortes, nous montrons que ce terme est uniquement maximisé par les boules.Dans le chapitre 3, nous présentons les travaux numériques effectués sur le problème du premierchapitre. Nous approchons les minimiseurs de l'énergie considérée via une descente de gradient. L'analyse fait apparaître une équation d'Allen-Cahn perturbée par un terme de transport extérieur, terme que nous calculons via un algorithme de Sinkhorn.Le chapitre 4 porte sur un problème isopérimétrique perturbé où les termes de périmètre et deperturbation ne sont pas explicites. Pour des hypothèses assez générales, nous montrons que ce problème admet des minimiseurs en un sens faible. Nous étudions ensuite pour quelles hypothèses ces minimiseurs, appelés minimiseurs généralisés, possèdent des estimées de densité.

In this manuscript, we focus on perturbed isoperimetric problems. These problems involve theminimization of an energy composed of a perimeter term that promotes mass aggregation, countered by a perturbation term favoring disaggregation.We begin by presenting the concepts used as well as past and current research conducted on theisoperimetric problem and its variants.In Chapter 1, we study a problem where the perimeter interacts with a non-local term called anexterior transport term. We demonstrate the existence of solutions to this problem and, in regimes where the perimeter dominates, we prove that the minimizers are balls.Chapter 2 is dedicated to the exterior transport term. In a general framework, we show that thevariational problem defining it has solutions and a dual formulation. Using stronger assumptions, wefinally show that this term is maximized only by balls.In Chapter 3, we present the numerical work done on the problem from Chapter 1. We approximatethe minimizers of the energy considered via gradient descent. The analysis reveals an Allen-Cahnequation perturbed by an exterior transport term, which we calculate using a Sinkhorn algorithm.Chapter 4 focuses on a perturbed isoperimetric problem where the perimeter and perturbationterms are not explicit. We exhibit a set of general assumptions under which a relaxed version of theproblem admits minimizers. We then investigate under which hypotheses these minimizers have densityestimates.