Sur l'uniformité différentielle des polynômes sur les corps finis de caractéristique paire

On the differential uniformity of polynomials over finite fields of even characteristic

• Auteur / Autrice : Ali Issa
• Direction : Yves Aubry
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 17/11/2022
• Etablissement(s) : Toulon
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mer et Sciences (Toulon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulon (2006-....)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Marc Couveignes
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Christina Boura, Pierre Dèbes, Gary Mc Guire, Fabien Herbaut
• Jury : Rapporteur / Rapporteuse : Jean-Marc Couveignes, David R. Kohel

Mots clés

Mots clés contrôlés

Morse, Théorie de

Polynômes

Groupes de monodromie

Mathématiques

Mots clés libres

Théorème Chebotarev

Groupes de monodromie

Polynômes APN

Chebotarev's theorem

Monodromy groups

APN polynomials

Résumé

Nous étudions dans cette thèse l’uniformité différentielle des polynômes de degré pair définis sur des corps finis de caractéristique 2. Une caractérisation des polynômes Morse permet de comparer certains groupes de monodromie arithmétiques et géométriques et ainsi d’appliquer le théorème de densité de Chebotarev, central dans notre travail. On en déduit que si le pgcd de deux entiers ℓ ≥ 1 et r ≥ 2 vaut 1 ou 2, les polynômes de degré m = 2r(2ℓ + 1) avec un second coefficient dominant non nul ont une uniformité différentielle maximale (c’est-à-dire égale à m − 2), sur une extension suffisamment grande du corps de base. En particulier ces polynômes ne sont pas APN exceptionnels, ce qui apporte une contribution à la conjecture d’Aubry, McGuire et Rodier dans le sens où les cas des polynômes de degré multiple de 8 ou encore de degré m = 4(2ℓ + 1) étaient encore complètement ouverts dans les travaux sur le sujet.

We study in this Ph.D. thesis the differential uniformity of polynomials of even degree defined over finite fields of characteristic 2. A characterization of Morse polynomials enables to compare some arithmetic and geometric monodromy groups and thus to apply the Chebotarev’s density theorem which is central to our work. We deduce that if the gcd of two integers ℓ ≥ 1, r ≥ 2 equals 1 or 2, then the polynomials of degree m = 2r(2ℓ + 1) with a non-zero second leading coefficient have a maximal differential uniformity (that is equals to m-2) on sufficently large extension of the base field. In particular these polynomials are not exceptional APN. It contributes to the conjecture of Aubry, McGuire and Rodier in the sense that the cases of polynomials of degree multiple of 8 or m = 4(2ℓ + 1) were open.